라플라스-벨트라미 연산자

개요

• 유클리드 공간에 정의된 미분연산자
• 더 일반적으로 리만다양체 위에서 정의할 수 있으며, 메트릭 텐서를 이용하여 쓸 수 있음 (이 경우 라플라스-벨트라미 연산자로 불리기도 함)
  
  • 미분형식에 대한 라플라시안 연산자로 일반화되며, 미분다양체의 드람 코호몰로지 이론에서 중요한 역할을 함
• 컴팩트 리만다양체에서 정의되는 라플라시안의 고유값을 이해하는 문제는 수학적으로 중요

 

2차원 유클리드 공간

• 라플라시안 연산자는 다음과 같이 정의됨\[\Delta f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\]
  

 

리만다양체의 메트릭 텐서를 이용한 표현

• 리만다양체의 메트릭 텐서가 \(g_{ij}\)로 주어지는 경우
• \((g^{ij})=(g_{ij})^{-1}\)
• 라플라시안\[\Delta f=\nabla_i \nabla^i f =\frac{1}{\sqrt{\det g}} \frac{\partial }{\partial x^j}\left(g^{jk}\sqrt{\det g}\frac{\partial f}{\partial x^k}\right) = g^{jk}\frac{\partial^2 f}{\partial x^j \partial x^k} + \frac{\partial g^{jk}}{\partial x^j} \frac{\partial f}{\partial x^k} + \frac12 g^{jk}g^{il}\frac{\partial g_{il}}{\partial x^j}\frac{\partial f}{\partial x^k}\]
  
• 곡면의 경우 \(E=g_{11}\), \(F=g_{12}=g_{21}\), \(G=g_{22}\)

• \(F=0\)인 경우\[\Delta f=\frac{1}{\sqrt{EG}}\left( \frac{\partial }{\partial x^1}\left(\sqrt{\frac{G}{E}}\frac{\partial f}{\partial x^1}\right)+\frac{\partial }{\partial x^2}\left(\sqrt{\frac{E}{G}}\frac{\partial f}{\partial x^2}\right)\right)\]
  

 

극좌표계의 경우

• 극좌표계
• \(E=1\), \(G=0\), \(F=r^2\)\[\sqrt{EG}=r\]\[\Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}={1 \over r} {\partial f \over \partial r}+ {\partial^2 f \over \partial r^2}+{1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}\]
  

 

 

구면 라플라시안

• 구면(sphere)
  
• \(E=r^2\sin^2\theta\), \(F=0\), \(G=r^2\)\[\Delta f ={1 \over r^2 }({\partial^2 f \over \partial \theta^2} +\cot\theta {\partial f \over \partial \theta} + \frac{1}{ \sin^2 \theta}{\partial^2 f \over \partial \phi^2})\]
  

 

 

3차원 구면좌표계의 경우

• 구면좌표계\[\Delta f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}\]
  

 

라플라시안의 성질

• elliptic
• self-adjoint
• $-\Delta$ 는 positive
• $-\Delta$ 의 스펙트럼은 다음과 같이 주어짐

$$0=\lambda_0<\lambda_1<\lambda_2<\cdots, \lim_{j\to \infty}\lambda_j=\infty$$

• $j\to \infty$일 때, $\lambda_{j}\sim j^{2/\dim M}$의 근사식을 따른다

 

역사

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사 연표

 

메모

• 민코프스키 메트릭과 달랑베르시안
• invariant differential operator http://en.wikipedia.org/wiki/Invariant_differential_operator
• http://mathoverflow.net/questions/64017/eigenvalues-of-laplacian-beltrami-operator
• http://mathoverflow.net/questions/85481/the-first-eigenvalue-of-the-laplacian-for-complex-projective-space

 

 

관련된 항목들

• 구면조화함수(spherical harmonics)
• 편미분방정식
• 스펙트럼 제타 함수

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxOWNhYWIxNmEtN2VlMC00N2ZkLThlMzMtODgzZjg5ODIxMmI5&sort=name&layout=list&num=50
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• http://functions.wolfram.com/
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Numbers, constants and computation
• 매스매티카 파일 목록

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/라플라스_연산자
• http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_operator
• http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_formulas_in_Riemannian_geometry
• http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_operators_in_differential_geometry
• http://mathworld.wolfram.com/Laplacian.html
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
  
  • http://dlmf.nist.gov/1.5