"피보나치 수열"의 두 판 사이의 차이

2013년 2월 9일 (토) 03:34 판

개요

점화식을 이용한 정의
- $F_0=1,F_1=1$
- $F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}$
인접한 두 수열의 비는 황금비로 수렴

\[\lim_{n\to\infty}\frac{F(n+1)}{F(n)}=\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}=1.61803398874989\cdots\]

피보나치 수열의 일반항

생성함수를 이용한 방법
피보나치 수열의 생성함수는 다음과 같이 주어진다

\[s(x)=\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k=s(x)=\frac{x}{1-x-x^2}\]

(증명) 점화식을 이용하여 다음을 얻는다 \[\begin{align} s(x) &= \sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k \\ &= F_0 + F_1x + \sum_{k=2}^{\infty} \left( F_{k-1} + F_{k-2} \right) x^k \\ &= x + \sum_{k=2}^{\infty} F_{k-1} x^k + \sum_{k=2}^{\infty} F_{k-2} x^k \\ &= x + x\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k + x^2\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k \\ &= x + x s(x) + x^2 s(x) \end{align}\]

이제 $s(x)$를 부분분수로 분해하여 쓰면, 피보나치수열의 일반항을 얻을 수 있다. \[F(n) = {{\varphi^n-(1-\varphi)^n} \over {\sqrt 5}}\]

$\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}=1.61803398874989\cdots$

여러가지 성질들

$F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2=(-1)^{n}$
위의 성질들을 이용하면, 다음과 같은 식들을 얻을 수 있음.

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{F_nF_{n+1}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{F_{n}}{F_{n+1}}-\frac{F_{n-1}}{F_{n}}}=\frac{1}{\varphi}=\varphi-1\]\[\prod_{n=2}^{\infty}(1+\frac{(-1)^{n}}{F_n^2})=\prod_{n=2}^{\infty}\frac{F_n^2+(-1)^n}{F_n^2}=\prod_{n=2}^{\infty}\frac{F_{n-1}}{F_n}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\varphi\]

황금비와 피보나치 수열

자연과 피보나치 수열

[1]

재미있는 사실

메모

http://www.math.temple.edu/~renault/fibonacci/fib.html

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 ==개요==
+* 점화식을 이용한 정의<br>
-*  정의<br>
 ** <math>F_0=1,F_1=1</math>
 ** <math>F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}</math>
-*  잘 알려진 성질들<br>
+* 인접한 두 수열의 비는 [[황금비]]로 수렴
-** [[황금비]]와 많이 관련되어 있음.
+:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{F(n+1)}{F(n)}=\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}=1.61803398874989\cdots</math>
-** <math>\phi=\frac{1+\sqrt5}{2}=1.61803398874989\cdots</math>
-** <math>\lim_{n\to\infty}\frac{F(n+1)}{F(n)}=\varphi</math>
-** <math>F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2=(-1)^{n}</math>
-*  위의 성질들을 이용하면, 다음과 같은 식들을 얻을 수 있음.:<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{F_nF_{n+1}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{F_{n}}{F_{n+1}}-\frac{F_{n-1}}{F_{n}}}=\frac{1}{\varphi}=\varphi-1</math>:<math>\prod_{n=2}^{\infty}(1+\frac{(-1)^{n}}{F_n^2})=\prod_{n=2}^{\infty}\frac{F_n^2+(-1)^n}{F_n^2}=\prod_{n=2}^{\infty}\frac{F_{n-1}}{F_n}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\varphi</math><br>
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 * [[생성함수]]를 이용한 방법
-* 피보나치 수열의 생성함수
+* 피보나치 수열의 생성함수는 다음과 같이 주어진다
+:<math>s(x)=\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k=s(x)=\frac{x}{1-x-x^2}</math>
-<math>s(x)=\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k=s(x)=\frac{x}{1-x-x^2}</math>
 (증명)
+점화식을 이용하여 다음을 얻는다
+:<math>\begin{align} s(x) &= \sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k \\ &= F_0 + F_1x + \sum_{k=2}^{\infty} \left( F_{k-1} + F_{k-2} \right) x^k \\ &= x + \sum_{k=2}^{\infty} F_{k-1} x^k + \sum_{k=2}^{\infty} F_{k-2} x^k \\ &= x + x\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k + x^2\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k \\ &= x + x s(x) + x^2 s(x) \end{align}</math>
-<math>\begin{align} s(x) &= \sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k \\ &= F_0 + F_1x + \sum_{k=2}^{\infty} \left( F_{k-1} + F_{k-2} \right) x^k \\ &= x + \sum_{k=2}^{\infty} F_{k-1} x^k + \sum_{k=2}^{\infty} F_{k-2} x^k \\ &= x + x\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k + x^2\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k \\ &= x + x s(x) + x^2 s(x) \end{align}</math>
+이제 $s(x)$를 부분분수로 분해하여 쓰면, 피보나치수열의 일반항을 얻을 수 있다.
+:<math>F(n) = {{\varphi^n-(1-\varphi)^n} \over {\sqrt 5}}</math>
+<math>\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}=1.61803398874989\cdots</math>
-이제 이 함수를 부분분수로 분해하여 쓰면, 피보나치수열의 일반항을 얻을 수 있다.
+==여러가지 성질들==
+* <math>F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2=(-1)^{n}</math>
+* 위의 성질들을 이용하면, 다음과 같은 식들을 얻을 수 있음.
+:<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{F_nF_{n+1}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{F_{n}}{F_{n+1}}-\frac{F_{n-1}}{F_{n}}}=\frac{1}{\varphi}=\varphi-1</math>:<math>\prod_{n=2}^{\infty}(1+\frac{(-1)^{n}}{F_n^2})=\prod_{n=2}^{\infty}\frac{F_n^2+(-1)^n}{F_n^2}=\prod_{n=2}^{\infty}\frac{F_{n-1}}{F_n}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\varphi</math><br>
-<math>F(n) = {{\varphi^n-(1-\varphi)^n} \over {\sqrt 5}}</math>
-<math>\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}=1.61803398874989\cdots</math>