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\chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in \mathfrak{h}^{*}} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'} | \chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in \mathfrak{h}^{*}} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'} | ||
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:<math>\chi_{\lambda}=ch(V)=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho}) }{e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho})}{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho})}</math><br> | :<math>\chi_{\lambda}=ch(V)=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho}) }{e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho})}{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho})}</math><br> | ||
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* denominator identity:<math>{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho}) = e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}</math><br> | * denominator identity:<math>{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho}) = e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}</math><br> | ||
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2013년 2월 9일 (토) 13:08 판
개요
- \(V=L(\lambda)\) 이면, 캐릭터는 다음과 정의된다
$$ \chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in \mathfrak{h}^{*}} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'} $$ 여기서 $V_{\lambda'}$는 $V$의 weight space
- 바일의 공식
\[\chi_{\lambda}=ch(V)=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho}) }{e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho})}{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho})}\]
- 또다른 표현\[\chi_\lambda=\frac{A_{\lambda+\rho}}{A_{\rho}}\] 여기서 \(A_{\mu}=\sum_{w\in W^{0}} (-1)^{\ell(w)} e^{w \mu}\in \mathbb{C}[P]\), P : weight lattice
- denominator identity\[{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho}) = e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}\]
함수로 이해하기
- \(e^{\lambda}\in \mathbb{Z}[P]\)
- \(\mathfrak{h}\)에 정의된 함수로 생각하면, \(x\mapsto e^{2\pi i \langle \lambda,x \rangle}\)
- \(\mathfrak{h}^{*}\)에 정의된 함수로 생각하면, \(\mu \mapsto e^{2\pi i (\lambda|\mu)}\)
- 예
- \(\mu\in \mathfrak{h}^{*}\) 에 대하여, \(A_{\rho}(\mu)=\prod_{\alpha>0}(2i)\sin \pi(\mu|\alpha)\)
- \({\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{2\pi i(\rho,v)}) = e^{2\pi i(\rho,v)}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-2\pi i(\alpha,v)})}\)
바일 차원 공식(Weyl dimension formula)
- \(\operatorname{dim}(L(\lambda))=\prod_{\alpha>0}\frac{(\lambda+\rho|\alpha)}{(\rho|\alpha)}\)
- 바일 차원 공식(Weyl dimension formula)
역사
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들
수학용어번역
- character - 대한수학회 수학용어집
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- http://functions.wolfram.com/
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- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Numbers, constants and computation
- 매스매티카 파일 목록
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Weyl_character_formula
- Encyclopaedia of Mathematics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The World of Mathematical Equations
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