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2013년 2월 9일 (토) 16:33 판

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역행렬

개요

가우스-조단 소거법을 이용한 계산

주어진 행렬은 다음과 같다\[\left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{array} \right)\]
가우스-조단 소거법 을 이용하기 위해, 다음과 같은 붙임행렬(augmented matrix)을 만든다\[\left( \begin{array}{ccc|ccc} 2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\]
위의 행렬에 소거법을 적용하면, 다음의 행렬들을 얻는다

\[\begin{array}{l} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3}{2} & -1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 1 \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{array} \right) \end{array}\]

위의 결과로부터 주어진 행렬의 역행렬은 다음과 같음을 알 수 있다\[\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} \right)\]

역사

메모

Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

수학용어번역

붙임행렬(augmented matrix)
단어사전
- http://translate.google.com/#en%7Cko%7C
- http://ko.wiktionary.org/wiki/
발음사전 http://www.forvo.com/search/
대한수학회 수학 학술 용어집
- http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=augmented
한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
한국물리학회 물리학 용어집 검색기
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리뷰논문, 에세이, 강의노트

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 *  주어진 행렬은 다음과 같다:<math>\left( \begin{array}{ccc}  2 & -1 & 0 \\  -1 & 2 & -1 \\  0 & -1 & 1 \end{array} \right)</math><br>
-* [[가우스-조단 소거법]] 을 이용하기 위해, 다음과 같은 붙임행렬(augmented matrix)을 만든다:<math>\left( \begin{array}{cccccc}  2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\  -1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\  0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)</math><br>
+* [[가우스-조단 소거법]] 을 이용하기 위해, 다음과 같은 붙임행렬(augmented matrix)을 만든다:<math>\left( \begin{array}{ccc|ccc}  2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\  -1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\  0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)</math><br>
-*  위의 행렬에 소거법을 적용하면, 다음의 행렬들을 얻는다:<math>\begin{array}{l}  \left( \begin{array}{cccccc}  2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\  -1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\  0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\  \left( \begin{array}{cccccc}  1 & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\  -1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\  0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\  \left( \begin{array}{cccccc}  1 & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\  0 & \frac{3}{2} & -1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\  0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\  \left( \begin{array}{cccccc}  1 & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\  0 & 1 & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0 \\  0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\  \left( \begin{array}{cccccc}  1 & 0 & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\  0 & 1 & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0 \\  0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\  \left( \begin{array}{cccccc}  1 & 0 & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\  0 & 1 & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0 \\  0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 1 \end{array} \right) \\  \left( \begin{array}{cccccc}  1 & 0 & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\  0 & 1 & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0 \\  0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{array} \right) \\  \left( \begin{array}{cccccc}  1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\  0 & 1 & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0 \\  0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{array} \right) \\  \left( \begin{array}{cccccc}  1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\  0 & 1 & 0 & 1 & 2 & 2 \\  0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{array} \right) \end{array}</math><br>
+*  위의 행렬에 소거법을 적용하면, 다음의 행렬들을 얻는다
+:<math>\begin{array}{l}  \left( \begin{array}{ccc|ccc}  2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\  -1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\  0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\  \left( \begin{array}{ccc|ccc}  1 & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\  -1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\  0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\  \left( \begin{array}{ccc|ccc}  1 & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\  0 & \frac{3}{2} & -1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\  0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\  \left( \begin{array}{ccc|ccc}  1 & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\  0 & 1 & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0 \\  0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\  \left( \begin{array}{ccc|ccc}  1 & 0 & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\  0 & 1 & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0 \\  0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\  \left( \begin{array}{ccc|ccc}  1 & 0 & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\  0 & 1 & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0 \\  0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 1 \end{array} \right) \\  \left( \begin{array}{ccc|ccc}  1 & 0 & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\  0 & 1 & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0 \\  0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{array} \right) \\  \left( \begin{array}{ccc|ccc}  1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\  0 & 1 & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0 \\  0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{array} \right) \\  \left( \begin{array}{ccc|ccc}  1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\  0 & 1 & 0 & 1 & 2 & 2 \\  0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{array} \right) \end{array}</math><br>
 *  위의 결과로부터 주어진 행렬의 역행렬은 다음과 같음을 알 수 있다:<math>\left( \begin{array}{ccc}  1 & 1 & 1 \\  1 & 2 & 2 \\  1 & 2 & 3 \end{array} \right)</math><br>