리만 세타 함수

개요

오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)

\(\prod_{n=1}^\infty (1-x^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kx^{k(3k-1)/2}\)

\((1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots\)

 

의 양변에 \(q^{1/24}\)를 곱하여, 데데킨트 에타함수의 세타함수 표현을 얻는다

\(\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})=\sum_{n=-\infty}^\infty(-1)^n q^{\frac{(6n+1)^2}{24}}\)

 

 

 

역사

• 자코비 fundamenta nova
  
• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=theta+function
• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사 연표
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메모

• Arizona Winter School 2009: Quadratic Forms
  
• 자코비의 네 제곱수 정리
  
• 'singular series'
  
  • Dickson
    
  • Mordell
    
  • Hardy
    
  • Bateman
    

 

 

관련된 항목들

• 모듈라 형식(modular forms)
  
• 오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)
  
• 데데킨트 에타함수