리대수 sl(2,C)의 유한차원 표현론

개요

• 리대수 \(\mathfrak{sl}(2)\)

 

 

리대수 \(\mathfrak{sl}(2)\)

• 3차원 리대수 \[E=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}\] \[F=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}\] \[H=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}\]
  
• \(L=\langle E,F,H \rangle\)
• commutator\[[E,F]=H\]\[[H,E]=2E\]\[[H,F]=-2F\]
  
• universal enveloping algebra의 PBW 기저 \(\{F^kH^lE^m|k,l,m\geq 0\}\)

 

 

highest weight representation

• \(\mathbb{F}\) : algebraically closed field with characteristic 0
• \(V\) :유한차원인 기약표현
• \(V=\oplus_{\lambda\in\mathbb{F}}V_{\lambda}\), \(V_{\lambda}=\{v\in V|Hv=\lambda v\}\)
• \(\lambda\in \mathbb{F}\) 에 대하여, highest weight vector \(v_0\) 를 정의\[Ev_0=0\]\[Hv_0=\lambda v_0\]
  
• \(v_j:=\frac{F^j}{j!}v_0\) 로 정의하면, 다음 관계가 만족된다\[H v_j=(\lambda -2j)v_j\]\[F v_j=(j+1)v_{j+1}\]\[E v_j=(\lambda -j+1)v_{j-1}\]
  
• \(\{v^j|j\geq 0\}\) 가 생성하는 벡터공간이 유한차원인 L-모듈이 되려면, \(\lambda\in\mathbb{Z}, \lambda\geq 0\) 이 만족되어야 한다

 

 

유한차원 기약표현의 분류

• 각 \(m\geq 0\) 에 대하여, m+1 차원 기약표현 \(V(m)\)가 존재한다
• 모든 유한차원 기약표현 \(V\)에 대하여 적당한 \(m\geq 0\)에 대하여 \(V\simeq V(m)\)

 

 

파울리 행렬

• 파울리 행렬의 선형결합으로 리대수 $\mathfrak{sl}(2)$ 의 원소를 표현할 수 있으며, 특별히 생성원 $E,F$는 raising and lowering 연산자로 불리며 다음과 같이 표현된다 $$H=\sigma_{z}=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}$$ $$E=\sigma_{+}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}+ i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}$$ $$F=\sigma_{-}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}- i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}$$ $$[\sigma_{z},\sigma_{\pm}]=\pm 2\sigma_{\pm}$$

 

 

 

 

역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사 연표

 

 

메모

 

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

 

 

관련된 항목들

• 스핀과 파울리의 배타원리
• 파울리 행렬

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxTllDZlBkcXRyUkk/edit

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• The Online Encyclopaedia of Mathematics
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The World of Mathematical Equations