"Q-가우스 합"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
(피타고라스님이 이 페이지의 위치를 <a href="/pages/9408516">합공식의 q-analogue</a>페이지로 이동하였습니다.)
8번째 줄: 8번째 줄:
  
 
* '''[GR2004]''' (1.5.1) Heine's q-analogue of Gauss' summation formula<br><math>_2\phi_1(a,b;c,q,c/ab)=\frac{(c/a;q)_{\infty}(c/b;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}(c/(ab);q)_{\infty}}</math> or <br><math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a,q)_{n}(b,q)_{n}}{(c ,q)_{n}(q ,q)_{n}}(\frac{c}{ab})^{n}=\frac{(c/a;q)_{\infty}(c/b;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}(c/(ab);q)_{\infty}}</math><br>
 
* '''[GR2004]''' (1.5.1) Heine's q-analogue of Gauss' summation formula<br><math>_2\phi_1(a,b;c,q,c/ab)=\frac{(c/a;q)_{\infty}(c/b;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}(c/(ab);q)_{\infty}}</math> or <br><math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a,q)_{n}(b,q)_{n}}{(c ,q)_{n}(q ,q)_{n}}(\frac{c}{ab})^{n}=\frac{(c/a;q)_{\infty}(c/b;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}(c/(ab);q)_{\infty}}</math><br>
 +
 +
 
 +
 +
 
 +
 +
 
 +
 +
<h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">켤레 베일리 쌍</h5>
 +
 +
*  다음과 같은 켤레 베일리 쌍 (relative to <em>a</em>)을 찾을 수 있다<br><math>\delta_n=\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}</math><br>  <math>\gamma_n=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}</math><br>
 +
*  다음과 같은 표현도 쓰인다<br><math>\gamma_n=\prod{{x/y,x/z;q}\choose {x,x/yz;}}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}</math><br>
 +
 +
 
 +
 +
(증명)
 +
 +
[[q-가우스 합]] 을 이용하자.
 +
 +
<math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a,q)_{n}(b,q)_{n}}{(c ,q)_{n}(q ,q)_{n}}(\frac{c}{ab})^{n}=\frac{(c/a;q)_{\infty}(c/b;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}(c/(ab);q)_{\infty}}</math>
 +
 +
 
 +
 +
Also note that <math>(a)_{n+r}=(a)_{r}(aq^{r})_{n}</math> and <math>(a)_{\infty}=(a)_{r}(aq^{r})_{\infty}</math>
 +
 +
<math>a=yq^{r},b=zq^{r},c=xq^{2r}</math>라 두자.
 +
 +
 
 +
 +
다음 등식을 얻는다. (*)
 +
 +
<math>A=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(yq^{r})_{n}(zq^{r})_{n}}{(xq^{2r})_{n}(q)_{n}}(\frac{x}{yz})^{n}=\frac{(xq^{r}/y)_{\infty}(xq^{r}/z)_{\infty}}{(xq^{2r})_{\infty}(x/(yz))_{\infty}}=B</math>
 +
 +
좌변은 다음과 같이 쓸 수 있다.
 +
 +
<math>A=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(yq^{r})_{n}(zq^{r})_{n}}{(xq^{2r})_{n}(q)_{n}}(\frac{x}{yz})^{n}=\frac{(x)_{2r}}{(y)_{r}(z)_{r}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(y)_{n+r}(z)_{n+r}}{(x)_{n+2r}(q)_{n}}(\frac{x}{yz})^{n}=\frac{(x)_{2r}y^{r}z^{r}}{(y)_{r}(z)_{r}x^{r}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(y)_{n+r}(z)_{n+r}}{(x)_{n+2r}(q)_{n}}(\frac{x}{yz})^{n+r}</math>
 +
 +
 
 +
 +
<math>\delta_n=\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}</math>로 두면,
 +
 +
<math>A=\frac{(x)_{2r}y^{r}z^{r}}{(y)_{r}(z)_{r}x^{r}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\delta_{n+r}}{(x)_{n+2r}(q)_{n}}</math> 로 쓸 수 있다.
 +
 +
 
 +
 +
(*)의 우변으로부터 다음을 얻는다.
 +
 +
<math>B=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}}\frac{(x)_{2r}}{(x/y)_{r}(x/z)_{r}}</math>
 +
 +
 
 +
 +
그러므로,
 +
 +
<math>A=\frac{(x)_{2r}y^{r}z^{r}}{(y)_{r}(z)_{r}x^{r}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\delta_{n+r}}{(x)_{n+2r}(q)_{n}}=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}}\frac{(x)_{2r}}{(x/y)_{r}(x/z)_{r}}=B</math>
 +
 +
 
 +
 +
여기서 다음을 얻는다.
 +
 +
<math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\delta_{n+r}}{(x)_{n+2r}(q)_{n}}=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}}\frac{1}{(x/y)_{r}(x/z)_{r}}\frac{(y)_{r}(z)_{r}x^{r}}{y^{r}z^{r}}</math>
 +
 +
 
 +
 +
그러므로
 +
 +
<math>\gamma_n=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}</math>  와  <math>\delta_n=\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}</math> 는 켤레 베일리 쌍이다. ■
 +
 +
 
 +
 +
*  이 켤레 베일리 쌍과 어떤 베일리 쌍 <math>\{\alpha_r\}, \{\beta_r\}</math>에 대하여, 베일리 보조 정리를 적용하면<br><math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}\beta_{n}=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}\alpha_{n}</math> 를 얻는다.<br>
  
 
 
 
 

2011년 11월 12일 (토) 06:52 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요
  • [GR2004] (1.5.1) Heine's q-analogue of Gauss' summation formula
    \(_2\phi_1(a,b;c,q,c/ab)=\frac{(c/a;q)_{\infty}(c/b;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}(c/(ab);q)_{\infty}}\) or 
    \(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a,q)_{n}(b,q)_{n}}{(c ,q)_{n}(q ,q)_{n}}(\frac{c}{ab})^{n}=\frac{(c/a;q)_{\infty}(c/b;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}(c/(ab);q)_{\infty}}\)

 

 

 

켤레 베일리 쌍
  • 다음과 같은 켤레 베일리 쌍 (relative to a)을 찾을 수 있다
    \(\delta_n=\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}\)
     \(\gamma_n=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}\)
  • 다음과 같은 표현도 쓰인다
    \(\gamma_n=\prod{{x/y,x/z;q}\choose {x,x/yz;}}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}\)

 

(증명)

q-가우스 합 을 이용하자.

\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a,q)_{n}(b,q)_{n}}{(c ,q)_{n}(q ,q)_{n}}(\frac{c}{ab})^{n}=\frac{(c/a;q)_{\infty}(c/b;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}(c/(ab);q)_{\infty}}\)

 

Also note that \((a)_{n+r}=(a)_{r}(aq^{r})_{n}\) and \((a)_{\infty}=(a)_{r}(aq^{r})_{\infty}\)

\(a=yq^{r},b=zq^{r},c=xq^{2r}\)라 두자.

 

다음 등식을 얻는다. (*)

\(A=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(yq^{r})_{n}(zq^{r})_{n}}{(xq^{2r})_{n}(q)_{n}}(\frac{x}{yz})^{n}=\frac{(xq^{r}/y)_{\infty}(xq^{r}/z)_{\infty}}{(xq^{2r})_{\infty}(x/(yz))_{\infty}}=B\)

좌변은 다음과 같이 쓸 수 있다.

\(A=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(yq^{r})_{n}(zq^{r})_{n}}{(xq^{2r})_{n}(q)_{n}}(\frac{x}{yz})^{n}=\frac{(x)_{2r}}{(y)_{r}(z)_{r}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(y)_{n+r}(z)_{n+r}}{(x)_{n+2r}(q)_{n}}(\frac{x}{yz})^{n}=\frac{(x)_{2r}y^{r}z^{r}}{(y)_{r}(z)_{r}x^{r}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(y)_{n+r}(z)_{n+r}}{(x)_{n+2r}(q)_{n}}(\frac{x}{yz})^{n+r}\)

 

\(\delta_n=\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}\)로 두면,

\(A=\frac{(x)_{2r}y^{r}z^{r}}{(y)_{r}(z)_{r}x^{r}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\delta_{n+r}}{(x)_{n+2r}(q)_{n}}\) 로 쓸 수 있다.

 

(*)의 우변으로부터 다음을 얻는다.

\(B=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}}\frac{(x)_{2r}}{(x/y)_{r}(x/z)_{r}}\)

 

그러므로,

\(A=\frac{(x)_{2r}y^{r}z^{r}}{(y)_{r}(z)_{r}x^{r}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\delta_{n+r}}{(x)_{n+2r}(q)_{n}}=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}}\frac{(x)_{2r}}{(x/y)_{r}(x/z)_{r}}=B\)

 

여기서 다음을 얻는다.

\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\delta_{n+r}}{(x)_{n+2r}(q)_{n}}=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}}\frac{1}{(x/y)_{r}(x/z)_{r}}\frac{(y)_{r}(z)_{r}x^{r}}{y^{r}z^{r}}\)

 

그러므로

\(\gamma_n=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}\)  와  \(\delta_n=\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}\) 는 켤레 베일리 쌍이다. ■

 

  • 이 켤레 베일리 쌍과 어떤 베일리 쌍 \(\{\alpha_r\}, \{\beta_r\}\)에 대하여, 베일리 보조 정리를 적용하면
    \(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}\beta_{n}=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}\alpha_{n}\) 를 얻는다.

 

 

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

 

사전 형태의 자료

 

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

 

 

 

관련논문

 

 

관련도서
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=Q-가우스_합&oldid=2676"