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* Spigot 알고리즘의 대표적인 예이다<br> | * Spigot 알고리즘의 대표적인 예이다<br> | ||
| − | * 다음 공식에 의하여 얻어짐:<math>\pi = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6} \right)</math | + | * 다음 공식에 의하여 얻어짐 |
| + | :<math>\pi = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6} \right)\label{bbp}</math> | ||
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** David Bailey; Peter Borwein; Simon Plouffe.Journal: Math. Comp. 66 (1997), 903-913.<br> | ** David Bailey; Peter Borwein; Simon Plouffe.Journal: Math. Comp. 66 (1997), 903-913.<br> | ||
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2013년 3월 16일 (토) 03:22 판
개요
- 원주율의 값을 16진수로 표현할 때, 각 자리에 어떤 값이 오는지를 구할 수 있게 해주는 공식
- Spigot 알고리즘의 대표적인 예이다
- 다음 공식에 의하여 얻어짐
\[\pi = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6} \right)\label{bbp}\]
공식의 증명
\ref{bbp}가 다음의 등식과 동치이다 \[\pi=\int_{0}^{1/\sqrt{2}}\frac{4\sqrt{2}-8x^3-4\sqrt{2}x^4-8x^5}{1-x^8}\,dx\]
다음을 이용하면 된다 \[ \begin{align} \quad \int_{0}^{1/\sqrt{2}}\frac{x^{k-1}}{1-x^8}\,dx & = \int_{0}^{1/\sqrt{2}}\sum_{i=0}^{\infty}x^{k-1+8i}\,dx \\ {} & = \frac{1}{\sqrt{2}^k}\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{16^{i}(8i+k)} \end{align} \] ■
원주율의 16진법 전개
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=pi+in+base+16\[\pi = 3.243f6a8885a308d313198a2e03707\cdots_{16}\]
역사
메모
관련된 항목들
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Bailey–Borwein–Plouffe_formula
- http://en.wikipedia.org/wiki/Spigot_algorithm
관련논문
- Pi: A 2000-Year Search Changes Direction
- On the rapid computation of various polylogarithmic constants
- David Bailey; Peter Borwein; Simon Plouffe.Journal: Math. Comp. 66 (1997), 903-913.
- David Bailey; Peter Borwein; Simon Plouffe.Journal: Math. Comp. 66 (1997), 903-913.