대수적수론

개요

• 수체, 대수적수와 대수적정수 등의 성질에 대해 연구하는 정수론의 분야

 

 

대수적수와 대수적정수

• 복소수중에서 적당한 유리수 계수방정식을 만족시키는 수를 대수적수라 함
  
  • 유리수 계수방정식은 적당한 정수를 곱하여 다음과 같은 형태의 정수계수방정식으로 표현할 수도 있음.\[a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0, a_i \in \mathbb{Z}\]
    
  • 복소수 중에서 어떠한 정수계수방정식도 만족시킬 수 없는 수를 초월수라 해도 무방
    

• 대수적정수는 최고차항의 계수가 1인 정수계수다항식을 만족시키는 대수적수
  
  • \(x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0, a_i \in \mathbb{Z}\)

 

 

선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들

• 초등정수론
• 이차 수체(quadratic number fields) 의 정수론
• 체론(field theory)
• 갈루아 이론
• 리만곡면론

 

 

 

 

중요한 개념 및 정리

• 데데킨트 domain
• 주어진 prime ideal은 체확장을 통해 어떻게 쪼개지는가
• 수체의 여러가지 불변량
  
  • 판별식
• 디리클레 unit theorem
  
  • 디리클레 regulator
• Class number의 유한성 
  
  • 수체의 class number
• 수체의 데데킨트 제타함수

 

 

 

 

 

 

관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들

• 초월수

 

 

 

 

 

사전형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/대수적_수
• http://en.wikipedia.org/wiki/algebraic_number_theory
• http://en.wikipedia.org/wiki/Splitting_of_prime_ideals_in_Galois_extensions
• http://en.wikipedia.org/wiki/absolute_Galois_group

관련논문

• Algebraic Numbers
  
  • B.Mazur, from 'The Princeton companion to mathematics'
• The Arithmetic of Algebraic Numbers: An Elementary Approach
  
  • Chi-Kwong Li and David Lutzer, The College Mathematics Journal, Vol. 35, No. 4 (Sep., 2004), pp. 307-309

• The Roots of Commutative Algebra in Algebraic Number Theory
  
  • Israel Kleiner, Mathematics Magazine, Vol. 68, No. 1 (Feb., 1995), pp. 3-15
• What Are Algebraic Integers and What Are They For?
  
  • John Stillwell, The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 3 (Mar., 1994), pp. 266-270