N차원 가우시안 적분

개요

• 1차원 가우시안 적분 의 n차원에서의 일반화
• A : 양의 정부호인 nxn 대칭행렬
• 가우시안 적분

\[\int_{\mathbb{R}^n}e^{-\frac{1}{2}\mathbf{x}^t A\mathbf{x}}d\mathbf{x}=\sqrt{\frac{(2\pi)^n}{\det{A}}}\]

• 1차항이 있는 경우는 다음과 같이 주어진다

$$ \int_{\mathbb{R}^n} e^{-\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j+\sum_{i=1}^{n}b_i x_i} d^nx=\sqrt{ \frac{(2\pi)^n}{\det{A}} }e^{\frac{1}{2}\mathbf{b}^{t}A^{-1}\mathbf{b}} $$

일반화

• 적당한 decay 조건을 만족시키는 함수 $f$에 대하여, 다음이 성립한다

$$ \int f(\vec x) \, \exp\left( - \frac 1 2 \sum_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j \right) d^nx=\sqrt{(2\pi)^n\over \det A} \, \left. \exp\left({1\over 2}\sum_{i,j=1}^{n}(A^{-1})_{ij}{\partial \over \partial x_i}{\partial \over \partial x_j}\right)f(\vec{x})\right|_{\vec{x}=0} $$

가우스 변환 증명

\[\int_{-\infty}^\infty\prod_{i=1}^N d\sigma_i\exp\left(-\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^N\sigma_iA_{ij}\sigma_j+\sum_{i=1}^N h_i\sigma_i\right)\\=\frac{(2\pi)^{N/2}}{|A|^{1/2}}\exp\left(\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^Nh_iA_{ij}^{-1}h_j\right)\]

이게 가우스 변환인데요, 이징 모형의 범함수 적분 형태에서 증명 없이 이용한 적이 있습니다.

증명

A는 대칭행렬이므로 대각화가 가능하고 A의 고유값과 고유벡터를 구한 후 고유벡터로 이루어진 행렬 U를 이용해서 다음처럼 쓸 수 있습니다. \[A=U\lambda U^{-1},\ \lambda=diag(\lambda_1,\cdots,\lambda_N)\]

위 두번째 식은 행렬 λ가 A의 고유값들로 이루어진 대각 행렬이라는 걸 말합니다. 즉 λ의 대각 요소만 0이 아니며 이 요소들 각각이 A의 고유값이라는 거죠. σ_i들로 이루어진 벡터를 편의상 σ으로 쓰고 h_i들로 이루어진 벡터를 편의상 h로 쓰겠습니다. 위의 U를 이용해서 σ와 h도 변환시켜줍니다. \[\sigma=U\tau,\ h=Ux\]

이제 위 가우스 변환의 좌변을 벡터와 행렬로 다시 쓰고... 블라블라... 해주면 아래와 같습니다. \[ \begin{aligned} \int\prod_{i}d\sigma_i\exp\left(-\frac{1}{2}\sigma^TA\sigma+h^T\sigma\right) &= \int\prod_id\tau_i\exp\left(-\frac{1}{2}\tau^T\lambda\tau+x^T\tau\right)\\ &=\int\prod_id\tau_i\exp\left(-\frac{1}{2}\sum_i\lambda_i\tau_i^2+\sum_ix_i\tau_i\right)\\ &= \prod_i\int d\tau_i \exp\left(-\frac{1}{2}\lambda_i\tau_i^2+x_i\tau_i\right)=\prod_i\sqrt{\frac{2\pi}{\lambda_i}}\exp\left(x_i^2/2\lambda_i\right)\\ &= \frac{(2\pi)^{N/2}}{|A|^{1/2}}\exp\left(\frac{1}{2}\sum_ix_i\lambda_i^{-1}x_i\right)= \frac{(2\pi)^{N/2}}{|A|^{1/2}}\exp\left(\frac{1}{2}x^T\lambda^{-1}x\right) \\ &= \frac{(2\pi)^{N/2}}{|A|^{1/2}}\exp\left(\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^Nh_iA_{ij}^{-1}h_j\right) \end{aligned} \]

증명의 아이디어는 A를 대각화하여 얽혀 있는 σ_i들을 서로 떼어놓음으로써 각 σ_i에 대한 적분이 가능해진다는 거죠.

메모

• William O. Straub, A Brief Look at Gaussian Integrals

관련된 항목들

• 완전제곱식 만들기
• 안장점 근사
• 헤세 판정법

계산 리소스

• http://mathematica.stackexchange.com/questions/6845/how-to-deal-with-complicated-gaussian-integrals-in-mathematica/6846#6846

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_integral
• http://en.wikipedia.org/wiki/Common_integrals_in_quantum_field_theory