"이차형식 x^2+27y^2"의 두 판 사이의 차이
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
||
| 16번째 줄: | 16번째 줄: | ||
** <math>p\equiv 1\pmod 3</math> 이고, <math>x^3-2\equiv0\pmod p</math> 가 해를 갖는다<br> | ** <math>p\equiv 1\pmod 3</math> 이고, <math>x^3-2\equiv0\pmod p</math> 가 해를 갖는다<br> | ||
** <math>p\equiv 1\pmod 3</math> 이고, 2가 <math>\mod p</math>로 cubic residue 이다<br> | ** <math>p\equiv 1\pmod 3</math> 이고, 2가 <math>\mod p</math>로 cubic residue 이다<br> | ||
| + | |||
==<math>x^3\equiv 2\pmod p</math> 의 해의 개수== | ==<math>x^3\equiv 2\pmod p</math> 의 해의 개수== | ||
| − | * 3 <math>p\equiv 1\pmod 3</math> 이고 <math>p=x^2+27y^2</math>형태로 쓸 수 있는 경우<br> | + | * 3, <math>p\equiv 1\pmod 3</math> 이고 <math>p=x^2+27y^2</math>형태로 쓸 수 있는 경우<br> |
| − | * 2 불가능<br> | + | * 2, 불가능<br> |
| − | * 1 <math>p \not\equiv1 \pmod 3</math> 인 경우<br> | + | * 1, <math>p \not\equiv1 \pmod 3</math> 인 경우<br> |
| − | * 0 <math>p\equiv 1\pmod 3</math> 이고 <math>p=x^2+27y^2</math>형태로 쓸 수 없는 경우<br> | + | * 0, <math>p\equiv 1\pmod 3</math> 이고 <math>p=x^2+27y^2</math>형태로 쓸 수 없는 경우<br> |
| + | ==테이블== | ||
| + | * 맨 오른쪽의 $\{x,y\}$는 $x^2+27y^2=p$의 해이며, 없는 경우는 0로 나타내었다 | ||
| + | $$\begin{array}{c|c|c|c} | ||
| + | p & p \bmod 3 & \text{decomposition} & \{x,y\} \\ | ||
| + | 2 & 2 & x^3 & 0 \\ | ||
| + | 3 & 0 & (x+1)^3 & 0 \\ | ||
| + | 5 & 2 & (x+2) \left(x^2+3 x+4\right) & 0 \\ | ||
| + | 7 & 1 & x^3+5 & 0 \\ | ||
| + | 11 & 2 & (x+4) \left(x^2+7 x+5\right) & 0 \\ | ||
| + | 13 & 1 & x^3+11 & 0 \\ | ||
| + | 17 & 2 & (x+9) \left(x^2+8 x+13\right) & 0 \\ | ||
| + | 19 & 1 & x^3+17 & 0 \\ | ||
| + | 23 & 2 & (x+7) \left(x^2+16 x+3\right) & 0 \\ | ||
| + | 29 & 2 & (x+3) \left(x^2+26 x+9\right) & 0 \\ | ||
| + | 31 & 1 & (x+11) (x+24) (x+27) & \{2,1\} \\ | ||
| + | 37 & 1 & x^3+35 & 0 \\ | ||
| + | 41 & 2 & (x+36) \left(x^2+5 x+25\right) & 0 \\ | ||
| + | 43 & 1 & (x+9) (x+11) (x+23) & \{4,1\} \\ | ||
| + | 47 & 2 & (x+26) \left(x^2+21 x+18\right) & 0 \\ | ||
| + | 53 & 2 & (x+35) \left(x^2+18 x+6\right) & 0 \\ | ||
| + | 59 & 2 & (x+21) \left(x^2+38 x+28\right) & 0 \\ | ||
| + | 61 & 1 & x^3+59 & 0 \\ | ||
| + | 67 & 1 & x^3+65 & 0 \\ | ||
| + | 71 & 2 & (x+22) \left(x^2+49 x+58\right) & 0 \\ | ||
| + | 73 & 1 & x^3+71 & 0 \\ | ||
| + | 79 & 1 & x^3+77 & 0 \\ | ||
| + | 83 & 2 & (x+33) \left(x^2+50 x+10\right) & 0 \\ | ||
| + | 89 & 2 & (x+73) \left(x^2+16 x+78\right) & 0 \\ | ||
| + | 97 & 1 & x^3+95 & 0 \\ | ||
| + | 101 & 2 & (x+75) \left(x^2+26 x+70\right) & 0 \\ | ||
| + | 103 & 1 & x^3+101 & 0 \\ | ||
| + | 107 & 2 & (x+101) \left(x^2+6 x+36\right) & 0 \\ | ||
| + | 109 & 1 & (x+6) (x+51) (x+52) & \{1,2\} \\ | ||
| + | 113 & 2 & (x+32) \left(x^2+81 x+7\right) & 0 | ||
| + | \end{array} | ||
| + | $$ | ||
| 51번째 줄: | 88번째 줄: | ||
==관련된 항목들== | ==관련된 항목들== | ||
* [[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)]] | * [[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)]] | ||
| + | |||
| + | |||
| + | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ||
| + | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxQV9BdDhJNFV3emM/edit | ||
| + | |||
| + | |||
[[분류:에세이]] | [[분류:에세이]] | ||
2013년 4월 8일 (월) 14:26 판
개요
- \(\mathcal{O}=\mathbb{Z}(\sqrt{-27})\subset K=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})\)
- ring class field \(K(\sqrt[3]{2})=\mathbb{Q}(\sqrt{-3},\sqrt[3]{2})\)
소수가 \(x^2+27y^2\) 꼴로 쓰여질 필요충분조건
- \(p>3\) 이 소수라 하자. 다음 조건은 동치이다
- \(p=x^2+27y^2\)
- \(p\equiv 1\pmod 3\) 이고, \(x^3-2\equiv0\pmod p\) 가 해를 갖는다
- \(p\equiv 1\pmod 3\) 이고, 2가 \(\mod p\)로 cubic residue 이다
- \(p=x^2+27y^2\)
\(x^3\equiv 2\pmod p\) 의 해의 개수
- 3, \(p\equiv 1\pmod 3\) 이고 \(p=x^2+27y^2\)형태로 쓸 수 있는 경우
- 2, 불가능
- 1, \(p \not\equiv1 \pmod 3\) 인 경우
- 0, \(p\equiv 1\pmod 3\) 이고 \(p=x^2+27y^2\)형태로 쓸 수 없는 경우
테이블
- 맨 오른쪽의 $\{x,y\}$는 $x^2+27y^2=p$의 해이며, 없는 경우는 0로 나타내었다
$$\begin{array}{c|c|c|c} p & p \bmod 3 & \text{decomposition} & \{x,y\} \\ 2 & 2 & x^3 & 0 \\ 3 & 0 & (x+1)^3 & 0 \\ 5 & 2 & (x+2) \left(x^2+3 x+4\right) & 0 \\ 7 & 1 & x^3+5 & 0 \\ 11 & 2 & (x+4) \left(x^2+7 x+5\right) & 0 \\ 13 & 1 & x^3+11 & 0 \\ 17 & 2 & (x+9) \left(x^2+8 x+13\right) & 0 \\ 19 & 1 & x^3+17 & 0 \\ 23 & 2 & (x+7) \left(x^2+16 x+3\right) & 0 \\ 29 & 2 & (x+3) \left(x^2+26 x+9\right) & 0 \\ 31 & 1 & (x+11) (x+24) (x+27) & \{2,1\} \\ 37 & 1 & x^3+35 & 0 \\ 41 & 2 & (x+36) \left(x^2+5 x+25\right) & 0 \\ 43 & 1 & (x+9) (x+11) (x+23) & \{4,1\} \\ 47 & 2 & (x+26) \left(x^2+21 x+18\right) & 0 \\ 53 & 2 & (x+35) \left(x^2+18 x+6\right) & 0 \\ 59 & 2 & (x+21) \left(x^2+38 x+28\right) & 0 \\ 61 & 1 & x^3+59 & 0 \\ 67 & 1 & x^3+65 & 0 \\ 71 & 2 & (x+22) \left(x^2+49 x+58\right) & 0 \\ 73 & 1 & x^3+71 & 0 \\ 79 & 1 & x^3+77 & 0 \\ 83 & 2 & (x+33) \left(x^2+50 x+10\right) & 0 \\ 89 & 2 & (x+73) \left(x^2+16 x+78\right) & 0 \\ 97 & 1 & x^3+95 & 0 \\ 101 & 2 & (x+75) \left(x^2+26 x+70\right) & 0 \\ 103 & 1 & x^3+101 & 0 \\ 107 & 2 & (x+101) \left(x^2+6 x+36\right) & 0 \\ 109 & 1 & (x+6) (x+51) (x+52) & \{1,2\} \\ 113 & 2 & (x+32) \left(x^2+81 x+7\right) & 0 \end{array} $$
역사
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들