"리대수 sl(2,C)의 유한차원 표현론"의 두 판 사이의 차이
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| − | * 3차원 리대수 :<math>E=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}</math> :<math>F=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}</math> :<math>H=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}</math | + | * 3차원 리대수 :<math>E=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}</math> :<math>F=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}</math> :<math>H=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}</math> |
* <math>L=\langle E,F,H \rangle</math> | * <math>L=\langle E,F,H \rangle</math> | ||
| − | * commutator:<math>[E,F]=H</math>:<math>[H,E]=2E</math>:<math>[H,F]=-2F</math | + | * commutator:<math>[E,F]=H</math>:<math>[H,E]=2E</math>:<math>[H,F]=-2F</math> |
* universal enveloping algebra의 PBW 기저 <math>\{F^kH^lE^m|k,l,m\geq 0\}</math> | * universal enveloping algebra의 PBW 기저 <math>\{F^kH^lE^m|k,l,m\geq 0\}</math> | ||
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* <math>V</math> :유한차원인 기약표현 | * <math>V</math> :유한차원인 기약표현 | ||
* <math>V=\oplus_{\lambda\in\mathbb{F}}V_{\lambda}</math>, <math>V_{\lambda}=\{v\in V|Hv=\lambda v\}</math> | * <math>V=\oplus_{\lambda\in\mathbb{F}}V_{\lambda}</math>, <math>V_{\lambda}=\{v\in V|Hv=\lambda v\}</math> | ||
| − | * <math>\lambda\in \mathbb{F}</math> 에 대하여, highest weight vector <math>v_0</math> 를 정의:<math>Ev_0=0</math>:<math>Hv_0=\lambda v_0</math | + | * <math>\lambda\in \mathbb{F}</math> 에 대하여, highest weight vector <math>v_0</math> 를 정의:<math>Ev_0=0</math>:<math>Hv_0=\lambda v_0</math> |
| − | * <math>v_j:=\frac{F^j}{j!}v_0</math> 로 정의하면, 다음 관계가 만족된다:<math>H v_j=(\lambda -2j)v_j</math>:<math>F v_j=(j+1)v_{j+1}</math>:<math>E v_j=(\lambda -j+1)v_{j-1}</math | + | * <math>v_j:=\frac{F^j}{j!}v_0</math> 로 정의하면, 다음 관계가 만족된다:<math>H v_j=(\lambda -2j)v_j</math>:<math>F v_j=(j+1)v_{j+1}</math>:<math>E v_j=(\lambda -j+1)v_{j-1}</math> |
| − | * <math>\{ | + | * <math>\{v_j|j\geq 0\}</math> 가 생성하는 벡터공간이 유한차원인 L-모듈이 되려면, <math>\lambda\in\mathbb{Z}, \lambda\geq 0</math> 이 만족되어야 한다 |
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| − | * 모든 유한차원 | + | * 모든 유한차원 기약표현 <math>V</math>에 대하여 적당한 <math>m\geq 0</math>에 대하여 <math>V\simeq V(m)</math> |
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==리뷰논문, 에세이, 강의노트== | ==리뷰논문, 에세이, 강의노트== | ||
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2013년 4월 13일 (토) 05:35 판
개요
- 리대수 \(\mathfrak{sl}(2)\)의 유한차원 표현론
- 각 \(m\geq 0\) 에 대하여, m+1 차원 기약표현 \(V(m)\)가 존재하며, 모든 유한차원 기약표현이 이러한 형태로 얻어진다
리대수 \(\mathfrak{sl}(2)\)
- 3차원 리대수 \[E=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}\] \[F=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}\] \[H=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}\]
- \(L=\langle E,F,H \rangle\)
- commutator\[[E,F]=H\]\[[H,E]=2E\]\[[H,F]=-2F\]
- universal enveloping algebra의 PBW 기저 \(\{F^kH^lE^m|k,l,m\geq 0\}\)
highest weight representation
- \(\mathbb{F}\) : algebraically closed field with characteristic 0
- \(V\) :유한차원인 기약표현
- \(V=\oplus_{\lambda\in\mathbb{F}}V_{\lambda}\), \(V_{\lambda}=\{v\in V|Hv=\lambda v\}\)
- \(\lambda\in \mathbb{F}\) 에 대하여, highest weight vector \(v_0\) 를 정의\[Ev_0=0\]\[Hv_0=\lambda v_0\]
- \(v_j:=\frac{F^j}{j!}v_0\) 로 정의하면, 다음 관계가 만족된다\[H v_j=(\lambda -2j)v_j\]\[F v_j=(j+1)v_{j+1}\]\[E v_j=(\lambda -j+1)v_{j-1}\]
- \(\{v_j|j\geq 0\}\) 가 생성하는 벡터공간이 유한차원인 L-모듈이 되려면, \(\lambda\in\mathbb{Z}, \lambda\geq 0\) 이 만족되어야 한다
유한차원 기약표현의 분류
- 각 \(m\geq 0\) 에 대하여, m+1 차원 기약표현 \(V(m)\)가 존재한다
- 모든 유한차원 기약표현 \(V\)에 대하여 적당한 \(m\geq 0\)에 대하여 \(V\simeq V(m)\)
파울리 행렬
- 파울리 행렬의 선형결합으로 리대수 $\mathfrak{sl}(2)$ 의 원소를 표현할 수 있으며, 특별히 생성원 $E,F$는 raising and lowering 연산자로 불리며 다음과 같이 표현된다 $$H=\sigma_{z}=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}$$ $$E=\sigma_{+}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}+ i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}$$ $$F=\sigma_{-}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}- i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}$$ $$[\sigma_{z},\sigma_{\pm}]=\pm 2\sigma_{\pm}$$
역사
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료