"Q-이항정리"의 두 판 사이의 차이

2009년 12월 23일 (수) 20:43 판

이항계수와 이항정리의 q-analogue
가우스 다항식(Gaussian polynomial)으로 불리기도 한다
q-이항정리
\(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1-a)^q_n}{(1-q)^q_n}z^n=\frac{(az;q)_{\infty}}{(z;q)_{\infty}}=\prod_{n=0}^\infty \frac {1-azq^n}{1-zq^n}, |z|<1\)
Pochhammer 기호와 캐츠(Kac) 기호 참조
q-초기하급수(q-hypergeometric series) 을 사용한 표현
\(_{1}\phi_0 \left[\begin{matrix} a \\ - \end{matrix} ; q,z \right]\)\(=\sum_{n=0}^\infty \frac {(a;q)_n} {(q;q)_n} z^n\)

이항계수와 조합
\((1+x)^n=\sum_{r=0}^{n} {n\choose r}x^r = {n\choose 0} + {n\choose 1}x + \cdots + {n\choose r}x^r + \cdots + {n\choose n}x^n\)
\((1-z)^{-a}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n}{n!}z^n=\,_1F_0(a;z)\)
위 식의 우변에 대해서는 초기하급수(Hypergeometric series)와 q-급수

세 변수 \(x,y,q\) 사이에 다음과 같은 관계를 정의
\(xy=qyx,xq=qx,yq=qy\)
거듭제곱의 전개
\((x+y)=x+y\)
\((x+y)^2=x^2+(1+q)xy+y^2\)
\((x+y)^3=x^3+(1+q+q^2)x^2y+(1+q+q^2)xy^2+y^3\)
\((x+y)^4=x^4+(1+q+q^2+q^3)x^3y+\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2\right)x^2y^2+(1+q+q^2+q^3)xy^3+y^4\)

정의
\({n \choose r}_q={{[n]_q!} \over {[r]_q![n - r]_q!}}=\frac{(q;q)_n}{(q;q)_r(q;q)_{n-r}}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)_q^r (1-q)_q^{n-r}}\)
예
\({4 \choose 1}_q=1+q+q^2+q^3\)
\({4 \choose 2}_q=(1+q+q^2)(1+q^2)=1+q+2q^2+q^3+q^4\)
\({5 \choose 1}_q=1+q+q^2+q^3+q^4\)
\({5 \choose 2}_q=\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2+q^3+q^4\right)\)
\(n\)이 작을 경우에 대한 q-이항계수의 목록 참조

이항계수와 조합에서 얻은 식의 q-analogue
\({n\choose r-1}_q+q^r{n\choose r}_q={n+1\choose r}_q\)
예 q-이항계수의 목록 항목 참조
\({4\choose 1}_q+q^2{4\choose 2}_q={5\choose 2}_q\)
\(1+q+q^2+q^3+q^2(1+q+2q^2+q^3+q^4)=1+q+q^2+q^3+q^4+q^2(1+q+q^2+q^3+q^4)=\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2+q^3+q^4\right)\)

유한곱에 대한 q-이항정리
\(\prod_{r=1}^{n}(1+zq^r)=(1+zq)(1+zq^2)\cdots(1+zq^n)= \sum_{r=0}^{n} {n \choose r}_q q^{r(r+1)/2}z^r\)
또는
\(\prod_{r=0}^{n-1}(1+zq^r)=(1+z)(1+zq)\cdots(1+zq^{n-1})= \sum_{r=0}^{n} {n \choose r}_q q^{r(r-1)/2}z^r\)
Pochhammer 기호와 캐츠(Kac) 기호를 사용한 표현
\((1+z)_q^n=(-z;q)_n=(1+z)(1+zq)\cdots(1+zq^{n-1})= \sum_{r=0}^{n} {n \choose r}_q q^{r(r-1)/2}z^r\)

q-초기하급수(q-hypergeometric series)의 오일러곱과 비교
\(\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\)

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 *  정의<br><math>{n \choose r}_q={{[n]_q!} \over {[r]_q![n - r]_q!}}=\frac{(q;q)_n}{(q;q)_r(q;q)_{n-r}}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)_q^r (1-q)_q^{n-r}}</math><br>
+*  예<br><math>{4 \choose 1}_q=1+q+q^2+q^3</math><br><math>{4 \choose 2}_q=(1+q+q^2)(1+q^2)=1+q+2q^2+q^3+q^4</math><br><math>{5 \choose 1}_q=1+q+q^2+q^3+q^4</math><br><math>{5 \choose 2}_q=\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2+q^3+q^4\right)</math><br>
-*  예<br><math>{4 \choose 2}_q=(1+q+q^2)(1+q^2)=1+q+2q^2+q^3+q^4</math><br><math>{5 \choose 1}_q=1+q+q^2+q^3+q^4</math><br><math>{5 \choose 2}_q=\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2+q^3+q^4\right)</math><br>
 * <math>n</math>이 작을 경우에 대한 [[q-이항계수의 목록]] 참조
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 <h5>점화식</h5>
-<math>{n\choose r-1}_q+q^r{n\choose r}_q={n+1\choose r}_q</math>
+* [[이항계수와 조합]]에서 얻은 식의 q-analogue<br><math>{n\choose r-1}_q+q^r{n\choose r}_q={n+1\choose r}_q</math><br>
+*  예 [[q-이항계수의 목록]] 항목 참조<br><math>{4\choose 1}_q+q^2{4\choose 2}_q={5\choose 2}_q</math><br><math>1+q+q^2+q^3+q^2(1+q+2q^2+q^3+q^4)=1+q+q^2+q^3+q^4+q^2(1+q+q^2+q^3+q^4)=\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2+q^3+q^4\right)</math><br>