"Q-이항정리"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
10번째 줄: 10번째 줄:
  
 
*  이항계수와 이항정리의 q-analogue<br>
 
*  이항계수와 이항정리의 q-analogue<br>
−
*  가우스 다항식(Gaussian polynomial)으로 불리기도 한다<br>
+
*  q-이항정리<br><math>\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1-a)^n_q}{(1-q)^n_q}z^n=\frac{(az;q)_{\infty}}{(z;q)_{\infty}}=\prod_{n=0}^\infty \frac {1-azq^n}{1-zq^n}, |z|<1</math><br>[[Pochhammer 기호와 캐츠(Kac) 기호]] 참조<br>
−
*  q-이항정리<br><math>\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1-a)^q_n}{(1-q)^q_n}z^n=\frac{(az;q)_{\infty}}{(z;q)_{\infty}}=\prod_{n=0}^\infty \frac {1-azq^n}{1-zq^n}, |z|<1</math><br>[[Pochhammer 기호와 캐츠(Kac) 기호]] 참조<br>
 
 
* [[q-초기하급수(q-hypergeometric series) (통합됨)|q-초기하급수(q-hypergeometric series)]] 을 사용한 표현<br><math>_{1}\phi_0 \left[\begin{matrix} a  \\ - \end{matrix} ; q,z \right]</math><math>=\sum_{n=0}^\infty \frac {(a;q)_n} {(q;q)_n} z^n</math><br>
 
* [[q-초기하급수(q-hypergeometric series) (통합됨)|q-초기하급수(q-hypergeometric series)]] 을 사용한 표현<br><math>_{1}\phi_0 \left[\begin{matrix} a  \\ - \end{matrix} ; q,z \right]</math><math>=\sum_{n=0}^\infty \frac {(a;q)_n} {(q;q)_n} z^n</math><br>
  
32번째 줄: 31번째 줄:
 
*  세 변수 <math>x,y,q</math> 사이에 다음과 같은 관계를 정의<br><math>xy=qyx,xq=qx,yq=qy</math><br>
 
*  세 변수 <math>x,y,q</math> 사이에 다음과 같은 관계를 정의<br><math>xy=qyx,xq=qx,yq=qy</math><br>
 
*  거듭제곱의 전개<br><math>(x+y)=x+y</math><br><math>(x+y)^2=x^2+(1+q)xy+y^2</math><br><math>(x+y)^3=x^3+(1+q+q^2)x^2y+(1+q+q^2)xy^2+y^3</math><br><math>(x+y)^4=x^4+(1+q+q^2+q^3)x^3y+\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2\right)x^2y^2+(1+q+q^2+q^3)xy^3+y^4</math><br>  <br>
 
*  거듭제곱의 전개<br><math>(x+y)=x+y</math><br><math>(x+y)^2=x^2+(1+q)xy+y^2</math><br><math>(x+y)^3=x^3+(1+q+q^2)x^2y+(1+q+q^2)xy^2+y^3</math><br><math>(x+y)^4=x^4+(1+q+q^2+q^3)x^3y+\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2\right)x^2y^2+(1+q+q^2+q^3)xy^3+y^4</math><br>  <br>
−
 
−
 
 
−
 
−
<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">q-이항계수</h5>
 
−
 
−
*  정의<br><math>{n \choose r}_q={{[n]_q!} \over {[r]_q![n - r]_q!}}=\frac{(q;q)_n}{(q;q)_r(q;q)_{n-r}}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)_q^r (1-q)_q^{n-r}}</math><br>
 
−
*  예<br><math>{4 \choose 1}_q=1+q+q^2+q^3</math><br><math>{4 \choose 2}_q=(1+q+q^2)(1+q^2)=1+q+2q^2+q^3+q^4</math><br><math>{5 \choose 1}_q=1+q+q^2+q^3+q^4</math><br><math>{5 \choose 2}_q=\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2+q^3+q^4\right)</math><br>
 
−
* <math>n</math>이 작을 경우에 대한 [[q-이항계수의 목록]] 참조
 
  
 
 
 
 
45번째 줄: 36번째 줄:
 
 
 
 
  
−
<h5>점화식</h5>
+
<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">q-이항정리</h5>
  
−
* [[이항계수와 조합]]에서 얻은 식의 q-analogue<br><math>{n\choose r-1}_q+q^r{n\choose r}_q={n+1\choose r}_q</math><br>
+
<math>\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1-a)^n_q}{(1-q)^n_q}z^n=\frac{(az;q)_{\infty}}{(z;q)_{\infty}}=\prod_{n=0}^\infty \frac {1-azq^n}{1-zq^n}, |z|<1</math>
−
*  예 [[q-이항계수의 목록]] 항목 참조<br><math>{4\choose 1}_q+q^2{4\choose 2}_q={5\choose 2}_q</math><br><math>1+q+q^2+q^3+q^2(1+q+2q^2+q^3+q^4)=1+q+q^2+q^3+q^4+q^2(1+q+q^2+q^3+q^4)=\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2+q^3+q^4\right)</math><br>
 
−
 
 
−
 
 
  
 
 
 
 
  
−
<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">유한곱에 대한 q-이항정리</h5>
+
<br>
  
−
* 유한곱에 대한 q-이항정리<br><math>\prod_{r=1}^{n}(1+zq^r)=(1+zq)(1+zq^2)\cdots(1+zq^n)= \sum_{r=0}^{n} {n \choose r}_q q^{r(r+1)/2}z^r</math><br> 또는<br><math>\prod_{r=0}^{n-1}(1+zq^r)=(1+z)(1+zq)\cdots(1+zq^{n-1})= \sum_{r=0}^{n} {n \choose r}_q q^{r(r-1)/2}z^r</math><br>
+
* <math>\prod_{r=1}^{n}(1+zq^r)=(1+zq)(1+zq^2)\cdots(1+zq^n)= \sum_{r=0}^{n} {n \choose r}_q q^{r(r+1)/2}z^r</math><br> 또는<br><math>\prod_{r=0}^{n-1}(1+zq^r)=(1+z)(1+zq)\cdots(1+zq^{n-1})= \sum_{r=0}^{n} {n \choose r}_q q^{r(r-1)/2}z^r</math><br>
 
* [[Pochhammer 기호와 캐츠(Kac) 기호]]를 사용한 표현<br><math>(1+z)_q^n=(-z;q)_n=(1+z)(1+zq)\cdots(1+zq^{n-1})= \sum_{r=0}^{n} {n \choose r}_q q^{r(r-1)/2}z^r</math><br>
 
* [[Pochhammer 기호와 캐츠(Kac) 기호]]를 사용한 표현<br><math>(1+z)_q^n=(-z;q)_n=(1+z)(1+zq)\cdots(1+zq^{n-1})= \sum_{r=0}^{n} {n \choose r}_q q^{r(r-1)/2}z^r</math><br>
  

2010년 1월 15일 (금) 13:20 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 이항계수와 이항정리의 q-analogue
  • q-이항정리
    \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1-a)^n_q}{(1-q)^n_q}z^n=\frac{(az;q)_{\infty}}{(z;q)_{\infty}}=\prod_{n=0}^\infty \frac {1-azq^n}{1-zq^n}, |z|<1\)
    Pochhammer 기호와 캐츠(Kac) 기호 참조
  • q-초기하급수(q-hypergeometric series) 을 사용한 표현
    \(_{1}\phi_0 \left[\begin{matrix} a \\ - \end{matrix} ; q,z \right]\)\(=\sum_{n=0}^\infty \frac {(a;q)_n} {(q;q)_n} z^n\)

 

 

이항정리과 이항정리
  • 이항계수와 조합
    \((1+x)^n=\sum_{r=0}^{n} {n\choose r}x^r = {n\choose 0} + {n\choose 1}x + \cdots + {n\choose r}x^r + \cdots + {n\choose n}x^n\)
  • 이항정리
    \((1 + x)^\alpha = \sum_{k=0}^{\infty} {\alpha \choose k} x^k = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!} x^3 +\cdots\)
     
    \((1-z)^{-a}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n}{n!}z^n=1+az+\frac{a(a+1)}{2!}z^2+\frac{a(a+1)(a+2)}{3!}z^3+\cdots = \,_1F_0(a;z)\)
  • 위 식의 우변에 대해서는 초기하급수(Hypergeometric series)와 q-급수

 

 

양자평면
  • 세 변수 \(x,y,q\) 사이에 다음과 같은 관계를 정의
    \(xy=qyx,xq=qx,yq=qy\)
  • 거듭제곱의 전개
    \((x+y)=x+y\)
    \((x+y)^2=x^2+(1+q)xy+y^2\)
    \((x+y)^3=x^3+(1+q+q^2)x^2y+(1+q+q^2)xy^2+y^3\)
    \((x+y)^4=x^4+(1+q+q^2+q^3)x^3y+\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2\right)x^2y^2+(1+q+q^2+q^3)xy^3+y^4\)
     

 

 

q-이항정리

\(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1-a)^n_q}{(1-q)^n_q}z^n=\frac{(az;q)_{\infty}}{(z;q)_{\infty}}=\prod_{n=0}^\infty \frac {1-azq^n}{1-zq^n}, |z|<1\)

 


  • \(\prod_{r=1}^{n}(1+zq^r)=(1+zq)(1+zq^2)\cdots(1+zq^n)= \sum_{r=0}^{n} {n \choose r}_q q^{r(r+1)/2}z^r\)
    또는
    \(\prod_{r=0}^{n-1}(1+zq^r)=(1+z)(1+zq)\cdots(1+zq^{n-1})= \sum_{r=0}^{n} {n \choose r}_q q^{r(r-1)/2}z^r\)
  • Pochhammer 기호와 캐츠(Kac) 기호를 사용한 표현
    \((1+z)_q^n=(-z;q)_n=(1+z)(1+zq)\cdots(1+zq^{n-1})= \sum_{r=0}^{n} {n \choose r}_q q^{r(r-1)/2}z^r\)

 

 

 

 

 

 

재미있는 사실

 

 

 

역사

 

 

메모

 

 

관련된 항목들

 

수학용어번역

 

 

사전 형태의 자료

 

 

관련논문

 

관련도서 및 추천도서

 

 

관련기사

 

 

블로그
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=Q-이항정리&oldid=2767"