유한생성 아벨군의 기본정리

개요

• $G$가 유한생성 아벨군이면, 다음을 만족하는 $r,u\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$와 자연수 $d_1|d_2|\cdots |d_u$, $d_1>1$를 찾을 수 있으며, 이는 유일하게 결정된다

$$ G\cong \mathbb{Z}^r \oplus \mathbb{Z}_{d_1} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{d_u}, $$

유한 아벨군

• 완전잉여계와 기약잉여계
• 1부터 n까지의 양의 정수들은 덧셈 (mod n) 에 대한 군의 구조를 이룸
  • 이 군을 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) 로 표현함
• 1부터 n까지의 양의 정수 중에 n과 서로소인 수로 구성된 집합은 곱셈 (mod n) 에 대한 군의 구조를 이룸
  • 이 군을 \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\) 로 표현함

예

• $x_1,x_2\cdots,x_5$ 다섯 개의 원소로 생성되는 유한 아벨군이 다음과 같은 관계를 만족하는 경우

$$ \left\{ \begin{array}{c} x_1-5 x_2+10 x_4-15 x_5=0 \\ 4 x_2-8 x_4+12 x_5=0 \\ 3 x_1-3 x_2-2 x_3+6 x_4-9 x_5=0 \\ x_1-x_2+2 x_4-3 x_5=0 \\ \end{array} \right. $$

• 관계식에 대한 행렬은 다음과 같이 쓰여진다

$$ \left( \begin{array}{ccccc} 1 & -5 & 0 & 10 & -15 \\ 0 & 4 & 0 & -8 & 12 \\ 3 & -3 & -2 & 6 & -9 \\ 1 & -1 & 0 & 2 & -3 \\ \end{array} \right) $$

• 이 행렬의 스미스 표준형 (Smith normal form)은 다음과 같이 주어진다

$$ \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) $$

• 이 때 아벨군의 구조는 다음과 같다

$$ G\cong \mathbb{Z}^2 \oplus \mathbb{Z}_{2} \oplus \mathbb{Z}_{4} $$

역사

• 수학사 연표

메모

• $G_{\operatorname{Tor}}$

관련된 항목들

• 아벨군
• 순환군
• 스미스 표준형 (Smith normal form)
• 타원곡선
• 오일러의 totient 함수

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxNnBSUVV2NS1JRlE/edit

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Fundamental_theorem_of_finitely_generated_abelian_groups