"그린 함수(Green's function)"의 두 판 사이의 차이

2013년 6월 14일 (금) 14:51 판

복소 평면의 단순연결된 열린 집합 $U\subset \mathbb{C}$와 $z_0\in U$에 대한 그린 함수 $u_{z_0} :U\backslash{\{z_0\}}\to \mathbb{R}$ 는 다음의 조건을 만족하는 조화함수로 정의된다
- $u_{z_0}(z)+\log |z-z_0|$는 $U$에서 정의되는 조화함수
- $z\to \partial{U}$일 때, $u_{z_0}\to 0$

$\mathbb{D}=\{z=x+iy\in \mathbb{C}:|z|< 1 \}$와 $z_0=0$에 대한 그린 함수 $u_0 : \mathbb{D}\backslash{\{0\}}\to \mathbb{R}$ 는 다음과 같이 주어진다

$$ u_0(z)=- \log |z|=-\frac{1}{2} \log (x^2+y^2) $$

$$ u(z)=\int_{U}u_{\zeta}(z)f(\zeta)d\zeta $$

열방정식 heat kernel 부분에서 가져옴
무한한 길이의 막대를 가정 $-\infty<x<\infty$
초기조건 ($t=0$) 에서의 온도분포\[u(x,0)=f(x)\]
heat kernel\[K(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \beta t}}\exp\left(-\frac{x^2}{4\beta t}\right)\]
heat kernel 을 이용한 열방정식의 해\[u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(y)K(x-y,t)\,dy=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \beta t}}\int_{-\infty}^{\infty}f(y)\exp\left(-\frac{(x-y)^2}{4\beta t}\right)\,dy\]

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+==복소함수론에서의 그린 함수==
+* 복소 평면의 단순연결된 열린 집합 $U\subset \mathbb{C}$와 $z_0\in U$에 대한 그린 함수 $u_{z_0} :U\backslash{\{z_0\}}\to \mathbb{R}$ 는 다음의 조건을 만족하는 조화함수로 정의된다
+** $u_{z_0}(z)+\log |z-z_0|$는 $U$에서 정의되는 조화함수
+** $z\to \partial{U}$일 때, $u_{z_0}\to 0$
+====unit disk에서의 예====
+* $\mathbb{D}=\{z=x+iy\in \mathbb{C}:|z|< 1 \}$와 $z_0=0$에 대한 그린 함수 $u_0 : \mathbb{D}\backslash{\{0\}}\to \mathbb{R}$ 는 다음과 같이 주어진다
+$$
+u_0(z)=- \log |z|=-\frac{1}{2} \log (x^2+y^2)
+$$
+====포아송 방정식====
+* $U$에서 $\Delta u=f$이고 $\partial{U}$에서 $u=0$로 주어지는 미분방정식의 해 $u$를 다음과 같이 쓸 수 있다
+$$
+u(z)=\int_{U}u_{\zeta}(z)f(\zeta)d\zeta
+$$
 ==상미분방정식에서의 응용==
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 ==관련된 항목들==
+* [[라플라시안(Laplacian)]]