"정오각형"의 두 판 사이의 차이
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* 변이 다섯개이며 길이가 모두 같은 다각형 | * 변이 다섯개이며 길이가 모두 같은 다각형 | ||
| − | * [[ | + | * [[정다각형]]의 하나 |
| + | * 정오각형의 대각선의 길이와 황금비의 관계 | ||
| + | * [[정다면체]] 중 하나인 정십이면체는 정오각형으로 만들어져 있다. | ||
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| − | * '[[황금비]]' | + | * '[[황금비]]' 항목 참조 |
* 정오각형의 한 변의 길이와 대각선의 길이의 비율은 황금비가 된다. | * 정오각형의 한 변의 길이와 대각선의 길이의 비율은 황금비가 된다. | ||
| + | :<math>{b \over a}={{(1+\sqrt{5})}\over 2}</math> | ||
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삼각형 ABD에서 선분 AC는 각 A의 이등분선이다. (각 DAC와 각 CAB가 같은 길이를 갖는 두 현 DC의 BC의 원주각이기 때문) | 삼각형 ABD에서 선분 AC는 각 A의 이등분선이다. (각 DAC와 각 CAB가 같은 길이를 갖는 두 현 DC의 BC의 원주각이기 때문) | ||
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AC와 BD의 교점을 E라 하자. | AC와 BD의 교점을 E라 하자. | ||
| − | 각의 이등분선의 성질에 의해, | + | 각의 이등분선의 성질에 의해, |
| − | AB : AD = BE : DE 즉 <math>a : b = b-a : a</math> 가 성립한다. | + | AB : AD = BE : DE 즉 <math>a : b = b-a : a</math> 가 성립한다. |
| + | :<math>b^2 - ab - a^2 = 0</math> | ||
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* [[톨레미의 정리]] 를 적용하면 쉽게 구할 수 있음. | * [[톨레미의 정리]] 를 적용하면 쉽게 구할 수 있음. | ||
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* 삼각형 변의 길이 비율은 황금비가 됨. | * 삼각형 변의 길이 비율은 황금비가 됨. | ||
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| + | ==정오각형 꼭지점의 평면좌표== | ||
* 정오각형이 단위원에 내접하고 있고, 한 점의 좌표가 (1,0) 으로 주어진 경우 | * 정오각형이 단위원에 내접하고 있고, 한 점의 좌표가 (1,0) 으로 주어진 경우 | ||
* 방정식 <math>z^4+z^3+z^2+z^1+1=0</math>은 다음과 같은 순서로 풀수 있음. | * 방정식 <math>z^4+z^3+z^2+z^1+1=0</math>은 다음과 같은 순서로 풀수 있음. | ||
| − | * 양변을 <math>z^2</math>으로 나누면, | + | * 양변을 <math>z^2</math>으로 나누면, <math>z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}=0</math> 을 얻게됨. |
<math>y=z+\frac{1}{z}</math> 로 치환하면, 원래의 방정식에서 다음 식을 얻을 수 있음. | <math>y=z+\frac{1}{z}</math> 로 치환하면, 원래의 방정식에서 다음 식을 얻을 수 있음. | ||
| + | :<math>z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}=(z+\frac{1}{z})^2+(z+\frac{1}{z})-1=y^2+y-1=0</math> | ||
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따라서 x는 유리수에서 시작하여, 사칙연산에 제곱근을 사용하여 표현가능하고, 따라서 자와 컴파스를 활용하여 작도가능. | 따라서 x는 유리수에서 시작하여, 사칙연산에 제곱근을 사용하여 표현가능하고, 따라서 자와 컴파스를 활용하여 작도가능. | ||
| − | * 복소평면상에서 <math>z</math> 의 <math>x</math> | + | * 복소평면상에서 <math>z</math> 의 <math>x</math> 좌표는 <math>\frac{-1+\sqrt{5}}{4} , \frac{-1-\sqrt{5}}{4}</math> 로 주어짐. |
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| − | + | * [http://www.youtube.com/watch?v=_MJPg-pROrI 정오각형의 작도] | |
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** Youtube | ** Youtube | ||
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| − | + | ==정오각형과 정다면체== | |
* 정십이면체의 면은 정오각형으로 구성 | * 정십이면체의 면은 정오각형으로 구성 | ||
* [[정다면체]] | * [[정다면체]] | ||
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| − | * 미국의 국방성인 펜타곤은 정오각형 모양으로 지어졌음. | + | * 미국의 국방성인 펜타곤은 정오각형 모양으로 지어졌음. |
** http://images.google.com/images?q=pentagon | ** http://images.google.com/images?q=pentagon | ||
| − | + | * 신권인 5만원에는 오각형이 숨어 있음. | |
| − | * 신권인 5만원에는 오각형이 숨어 있음. | + | ** [http://www.mt.co.kr/view/mtview.php?type=1&no=2009062317067029636&outlink=1 기대반 우려반… 5만원권 오늘부터 본격 유통] |
| − | ** [http://www.mt.co.kr/view/mtview.php?type=1&no=2009062317067029636&outlink=1 기대반 우려반… 5만원권 오늘부터 본격 유통] | ||
*** 머니투데이, 2009-6-23 | *** 머니투데이, 2009-6-23 | ||
| − | ** [http://www.dt.co.kr/contents.html?article_no=2009022602011457729002 신권, 16가지 위조방지 `첨단옷` 입었다] | + | ** [http://www.dt.co.kr/contents.html?article_no=2009022602011457729002 신권, 16가지 위조방지 `첨단옷` 입었다] |
*** 디지털타임스, 2009-2-25 | *** 디지털타임스, 2009-2-25 | ||
| − | * 살바도르 달리의 그림 '최후의 만찬'에는 정십이면체가 등장함 | + | * 살바도르 달리의 그림 '최후의 만찬'에는 정십이면체가 등장함 |
** http://images.google.com/images?q=dali+last+supper | ** http://images.google.com/images?q=dali+last+supper | ||
| + | * 사과의 단면 - 사과를 가로로 자르는 일은 흔치 않기 때문에, 사과의 이런 단면은 참 낯설다. 사과 속에 별이 있고 꽃이 있다. 세상엔 참 흔한데도 불구하고, 못보고 지나치는 것들이 너무 많다. | ||
| + | [[파일:정오각형(사과).JPG]] | ||
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* [[드 무아브르의 정리, 복소수와 정다각형|복소수와 정다각형]] | * [[드 무아브르의 정리, 복소수와 정다각형|복소수와 정다각형]] | ||
* [[가우스와 정17각형의 작도]] | * [[가우스와 정17각형의 작도]] | ||
| − | * [[ | + | * [[황금비]] |
* [[축구공의 수학]] | * [[축구공의 수학]] | ||
* [[정다면체]] | * [[정다면체]] | ||
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| − | + | ==관련된 고교수학 또는 대학수학== | |
| − | + | * [[복소수]] | |
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| − | * [[복소수]] | ||
** 드무아브르의 정리 | ** 드무아브르의 정리 | ||
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| − | + | ==사전형태의 자료== | |
| + | * http://ko.wikipedia.org/wiki/정오각형 | ||
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| − | + | * 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정) | |
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| − | * 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정) | ||
** [http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=%EC%98%A4%EA%B0%81%ED%98%95 http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=오각형] | ** [http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=%EC%98%A4%EA%B0%81%ED%98%95 http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=오각형] | ||
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| − | * [http://navercast.naver.com/science/math/935 정오각형 작도] | + | ==블로그== |
| + | * [http://navercast.naver.com/science/math/935 정오각형 작도] | ||
** 정경훈, 네이버 오늘의 과학, 2009-9-1 | ** 정경훈, 네이버 오늘의 과학, 2009-9-1 | ||
| + | [[분류:중학수학]] | ||
2013년 11월 8일 (금) 08:40 기준 최신판
개요
정오각형의 대각선과 황금비
- '황금비' 항목 참조
- 정오각형의 한 변의 길이와 대각선의 길이의 비율은 황금비가 된다.
\[{b \over a}={{(1+\sqrt{5})}\over 2}\]
.png)
- (증명)
삼각형 ABD에서 선분 AC는 각 A의 이등분선이다. (각 DAC와 각 CAB가 같은 길이를 갖는 두 현 DC의 BC의 원주각이기 때문)
AC와 BD의 교점을 E라 하자.
각의 이등분선의 성질에 의해,
AB : AD = BE : DE 즉 \(a : b = b-a : a\) 가 성립한다. \[b^2 - ab - a^2 = 0\] \[(\frac{b}{a})^2- \frac{b}{a} - 1 =0\] ■
- 톨레미의 정리 를 적용하면 쉽게 구할 수 있음.
황금삼각형
- 삼각형 변의 길이 비율은 황금비가 됨.
정오각형 꼭지점의 평면좌표
- 정오각형이 단위원에 내접하고 있고, 한 점의 좌표가 (1,0) 으로 주어진 경우
- 방정식 \(z^4+z^3+z^2+z^1+1=0\)은 다음과 같은 순서로 풀수 있음.
- 양변을 \(z^2\)으로 나누면, \(z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}=0\) 을 얻게됨.
\(y=z+\frac{1}{z}\) 로 치환하면, 원래의 방정식에서 다음 식을 얻을 수 있음. \[z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}=(z+\frac{1}{z})^2+(z+\frac{1}{z})-1=y^2+y-1=0\]
방정식 \(y^2+y-1=0\)을 풀면, \[y=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\] 이제 \(z^2-yz+1=0\)로부터 다음을 얻는다 \[z=\frac{y+\sqrt{y^2-4}}{2}\] 따라서 x는 유리수에서 시작하여, 사칙연산에 제곱근을 사용하여 표현가능하고, 따라서 자와 컴파스를 활용하여 작도가능.
- 복소평면상에서 \(z\) 의 \(x\) 좌표는 \(\frac{-1+\sqrt{5}}{4} , \frac{-1-\sqrt{5}}{4}\) 로 주어짐.
정오각형의 작도
- 정오각형의 작도
- Youtube
정오각형과 정다면체
- 정십이면체의 면은 정오각형으로 구성
- 정다면체
재미있는 사실
- 미국의 국방성인 펜타곤은 정오각형 모양으로 지어졌음.
- 신권인 5만원에는 오각형이 숨어 있음.
- 기대반 우려반… 5만원권 오늘부터 본격 유통
- 머니투데이, 2009-6-23
- 신권, 16가지 위조방지 `첨단옷` 입었다
- 디지털타임스, 2009-2-25
- 기대반 우려반… 5만원권 오늘부터 본격 유통
- 살바도르 달리의 그림 '최후의 만찬'에는 정십이면체가 등장함
- 사과의 단면 - 사과를 가로로 자르는 일은 흔치 않기 때문에, 사과의 이런 단면은 참 낯설다. 사과 속에 별이 있고 꽃이 있다. 세상엔 참 흔한데도 불구하고, 못보고 지나치는 것들이 너무 많다.
.JPG)
관련된 항목들
관련된 고교수학 또는 대학수학
- 복소수
- 드무아브르의 정리
사전형태의 자료
관련기사
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
블로그
- 정오각형 작도
- 정경훈, 네이버 오늘의 과학, 2009-9-1