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| − | * <math>d_K</math> | + | * <math>d_K</math>를 판별식으로 갖는 복소이차수체 <math>K</math>에 대하여, [[디리클레 L-함수]]는 다음을 만족시킴:<math>L_{d_K}'(1)=\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})</math> |
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| − | * | + | * 수체 <math>K=\mathbb{Q}(i)</math>에 대하여 다음이 성립한다 |
| − | * <math>K=\mathbb{Q}(\omega)</math>, | + | :<math>\beta'(1)=L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)})</math> |
| + | 여기서 $\beta$는 [[디리클레 베타함수]] | ||
| + | * 수체 <math>K=\mathbb{Q}(\omega)</math>, <math>\omega^2+\omega+1=0</math>에 대하여 다음이 성립한다 | ||
| + | :<math>L_{-3}'(1)=\frac{\pi}{3\sqrt{3}}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{\sqrt{3}}\ln(\frac{\Gamma(1/3)}{\Gamma(2/3)})</math> | ||
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| − | * [[Chowla-셀베르그 공식]] | + | * [[Chowla-셀베르그 공식]] |
| − | * [[Birch and Swinnerton-Dyer 추측]] | + | * [[Birch and Swinnerton-Dyer 추측]] |
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2013년 12월 29일 (일) 17:39 판
개요
리만제타함수
- 리만제타함수는 다음을 만족한다
\[\zeta'(0)=-\log{\sqrt{2\pi}}\]
디리클레 L-함수의 미분
- \(d_K\)를 판별식으로 갖는 복소이차수체 \(K\)에 대하여, 디리클레 L-함수는 다음을 만족시킴\[L_{d_K}'(1)=\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})\]
예
- 수체 \(K=\mathbb{Q}(i)\)에 대하여 다음이 성립한다
\[\beta'(1)=L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)})\] 여기서 $\beta$는 디리클레 베타함수
- 수체 \(K=\mathbb{Q}(\omega)\), \(\omega^2+\omega+1=0\)에 대하여 다음이 성립한다
\[L_{-3}'(1)=\frac{\pi}{3\sqrt{3}}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{\sqrt{3}}\ln(\frac{\Gamma(1/3)}{\Gamma(2/3)})\]