"월리스 곱 (Wallis product formula)"의 두 판 사이의 차이
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| − | $a_n$은 다음 점화식을 만족시킨다 $$a_0=\pi | + | * 다음과 같이 수열 $\{a_n\}$을 정의하자 :<math>a_n:=\int_0^{\pi}\sin^{n}\theta{d\theta}= B(\frac{n+1}{2},\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{n}{2}+\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}</math> 여기서 $B(x,y)$는 [[오일러 베타적분(베타함수)|오일러 베타적분]]. |
| − | + | * 수열 $\{a_n\}$은 다음 점화식을 만족시킨다 $$a_0=\pi,a_1=2,$$ $$a_{n}=\frac{n-1}{n}a_{n-2} \label{rec}$$ | |
| − | + | ;보조정리1 | |
| + | $$\frac{\frac{a_{2n}}{a_{2n+1}}}{\pi /2}=\prod _{k=1}^n \frac{4 k^2-1}{4 k^2}\label{prod}$$ | ||
| − | + | ;증명 | |
| + | \ref{rec}로부터 다음을 얻는다 | ||
$$\frac{a_{2k}}{a_{2k-2}}\frac{a_{2k-1}}{a_{2k+1}}=\frac{4 k^2-1}{4 k^2}$$ 으로부터 | $$\frac{a_{2k}}{a_{2k-2}}\frac{a_{2k-1}}{a_{2k+1}}=\frac{4 k^2-1}{4 k^2}$$ 으로부터 | ||
| − | $$\prod _{k=1}^n \frac{a_{2k}}{a_{2k-2}}\frac{a_{2k-1}}{a_{2k+1}}=\prod _{k=1}^n \frac{4 k^2-1}{4 k^2}$$을 얻는다. | + | $$\prod _{k=1}^n \frac{a_{2k}}{a_{2k-2}}\frac{a_{2k-1}}{a_{2k+1}}=\prod _{k=1}^n \frac{4 k^2-1}{4 k^2}$$을 얻는다. |
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$$\prod _{k=1}^n \frac{a_{2k}}{a_{2k-2}}\frac{a_{2k-1}}{a_{2k+1}}=\frac{a_{1}a_{2n}}{a_{0} a_{2n+1}}=\frac{\frac{a_{2n}}{a_{2n+1}}}{\pi /2}$$ | $$\prod _{k=1}^n \frac{a_{2k}}{a_{2k-2}}\frac{a_{2k-1}}{a_{2k+1}}=\frac{a_{1}a_{2n}}{a_{0} a_{2n+1}}=\frac{\frac{a_{2n}}{a_{2n+1}}}{\pi /2}$$ | ||
| + | 로부터 \ref{prod}을 얻는다 | ||
| + | ;보조정리2 | ||
| + | $$\lim_{n\to \infty } \, \frac{a_{2 n}}{a_{2 n+1}}=1 \label{lim}$$ | ||
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$a_{n}$은 단조감소수열이므로, 다음 부등식이 성립한다 | $a_{n}$은 단조감소수열이므로, 다음 부등식이 성립한다 | ||
$$1 \le \frac{a_{2n}}{a_{2n+1}} \le \frac{a_{2n-1}}{a_{2n+1}}=\frac{2n+1}{2n}$$ | $$1 \le \frac{a_{2n}}{a_{2n+1}} \le \frac{a_{2n-1}}{a_{2n+1}}=\frac{2n+1}{2n}$$ | ||
우변에서는 \ref{rec}이 사용되었다. | 우변에서는 \ref{rec}이 사용되었다. | ||
따라서 [[샌드위치 정리]]에 의해 $$\lim_{n\to \infty } \, \frac{a_{2 n}}{a_{2 n+1}}=1$$ | 따라서 [[샌드위치 정리]]에 의해 $$\lim_{n\to \infty } \, \frac{a_{2 n}}{a_{2 n+1}}=1$$ | ||
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==사인함수의 무한곱 표현을 이용한 증명== | ==사인함수의 무한곱 표현을 이용한 증명== | ||
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| − | * [[중심극한정리]] | + | * [[드무아브르-라플라스 중심극한정리]] |
| − | * [[오일러 베타적분(베타함수) | + | * [[오일러 베타적분(베타함수)]] |
* [[삼각함수의 적분]] | * [[삼각함수의 적분]] | ||
2014년 1월 10일 (금) 04:27 판
개요
- 1655년, 영국 수학자 월리스(John Wallis)는 월리스 곱이라 불려지는 다음과 같은 공식을 남긴다. \[\lim_{n \rightarrow \infty}\big(\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdots \frac{2n}{2n - 1} \cdot\frac{2n}{2n+1}\big) = \frac{\pi}{2}\]
$$\prod_{k=1}^{\infty}\frac{4k^2-1}{4k^2}=\frac{2}{\pi}$$
- 스털링이 드무아브르가 남긴 문제를 해결할때 이 월리스의 공식을 사용 \[\frac{\pi}{2}=\lim_{n\to\infty}{1\over{2n}}\cdot{{2^{4n}\,(n!)^4}\over{((2n)!)^2}}\]
- 이는 다음을 말해준다 \[\frac{1}{2^{2n}}{{(2n)!}\over{n!n!}}=\frac{1}{2^{2n}}{2n\choose n}\approx\frac{1}{\sqrt{\pi n}}\]
증명
- 다음과 같이 수열 $\{a_n\}$을 정의하자 \[a_n:=\int_0^{\pi}\sin^{n}\theta{d\theta}= B(\frac{n+1}{2},\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{n}{2}+\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}\] 여기서 $B(x,y)$는 오일러 베타적분.
- 수열 $\{a_n\}$은 다음 점화식을 만족시킨다 $$a_0=\pi,a_1=2,$$ $$a_{n}=\frac{n-1}{n}a_{n-2} \label{rec}$$
- 보조정리1
$$\frac{\frac{a_{2n}}{a_{2n+1}}}{\pi /2}=\prod _{k=1}^n \frac{4 k^2-1}{4 k^2}\label{prod}$$
- 증명
\ref{rec}로부터 다음을 얻는다 $$\frac{a_{2k}}{a_{2k-2}}\frac{a_{2k-1}}{a_{2k+1}}=\frac{4 k^2-1}{4 k^2}$$ 으로부터 $$\prod _{k=1}^n \frac{a_{2k}}{a_{2k-2}}\frac{a_{2k-1}}{a_{2k+1}}=\prod _{k=1}^n \frac{4 k^2-1}{4 k^2}$$을 얻는다. 한편, $$\prod _{k=1}^n \frac{a_{2k}}{a_{2k-2}}\frac{a_{2k-1}}{a_{2k+1}}=\frac{a_{1}a_{2n}}{a_{0} a_{2n+1}}=\frac{\frac{a_{2n}}{a_{2n+1}}}{\pi /2}$$ 로부터 \ref{prod}을 얻는다
- 보조정리2
$$\lim_{n\to \infty } \, \frac{a_{2 n}}{a_{2 n+1}}=1 \label{lim}$$
- 증명
$a_{n}$은 단조감소수열이므로, 다음 부등식이 성립한다 $$1 \le \frac{a_{2n}}{a_{2n+1}} \le \frac{a_{2n-1}}{a_{2n+1}}=\frac{2n+1}{2n}$$ 우변에서는 \ref{rec}이 사용되었다. 따라서 샌드위치 정리에 의해 $$\lim_{n\to \infty } \, \frac{a_{2 n}}{a_{2 n+1}}=1$$
보조정리1과 보조정리2로부터 월리스 곱을 얻는다
사인함수의 무한곱 표현을 이용한 증명
- 다음 사인함수의 무한곱 표현에서 $x=1/2$ 일 때, 월리스 곱을 얻는다
\[\sin{\pi x} = \pi x \prod _{n=1}^{\infty } \left(1-\frac{x^2}{n^2}\right)\label{sinpro}\]
- 삼각함수의 무한곱 표현 항목 참조
역사
- 수학사 연표
- 1655 - 존 월리스가 Arithmetica Infinitorum를 저술
- 드무아브르의 발견은 대략 1730년대 즈음
- 데카르트(1596년 3월-1650년 2월)
- 뉴턴(1643년 1월-1727년 3월)
메모
관련된 항목들
사전형태의 자료
블로그
- 드무아브르의 중심극한정리(iii) : 숫자 파이와 동전던지기 피타고라스의 창, 2008-7-12