모듈라 곡선 X0(50)

개요

• 대수곡선 $X_0(50)$
• 종수 2
• 곡선 위에 정의된 함수

$$ u=q^{-1}\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(1-q^{25n})(1-q^{2n})}{(1-q^{n})(1-q^{50n})} =\frac{1}{q}+1+q+2 q^2+2 q^3+3 q^4 \\ v=q^{-3}\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(1-q^{25n})(1-q^{2n})^2}{(1-q^{n})(1-q^{50n})^2} = \frac{1}{q^3}+\frac{1}{q^2}+1+q^3+q^7 $$

• 다음이 성립한다

$$ v+5u^3/v=u^3-2u^2-2u+1 $$

• involution

$$ u\mapsto -1/u, v\mapsto v/u $$

타원곡선

• involution에 의한 불변량

$$ s=\frac{(1+u) v}{u^2},t=\frac{(1+u)^2}{u} $$

• 다음이 성립한다

$$ s^2-s (t-5) t+5 t=0 $$

• 좌표변환 $x=-5/t,y=5(2s-t(t-5))/t^2$로부터 다음의 타원곡선을 얻는다

$$ E:y^2=4 x^3+25 x^2+50 x+25 $$

모듈라 형식

• 미분형식 $\omega_E=-\frac{dx}{y}$의 $\pi : X_0(50)\to E$에 대한 pullback은 다음과 같다

$$ 2\pi i f dz=\pi^{*}\omega_E=(q-q^2+q^3+q^4-q^6+2 q^7-q^8-2 q^9+\cdots)\frac{dq}{q} $$ 여기서 $q=e^{2\pi i z}$

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxVW9YaGFieG9uUW8/edit

리뷰, 에세이, 강의노트

• Calegari, Frank. 2006. “Book Review: A First Course in Modular Forms.” Bulletin of The American Mathematical Society - BULL AMER MATH SOC 43 (03): 415–422. doi:10.1090/S0273-0979-06-01098-6. http://www.ams.org/journals/bull/2006-43-03/S0273-0979-06-01098-6/S0273-0979-06-01098-6.pdf
• Birch, B. J. "Some calculations of modular relations." In Modular Functions of One Variable I, pp. 175-186. Springer Berlin Heidelberg, 1973.