조화다항식(harmonic polynomial)

개요

• 아래에서는 세 변수의 경우를 다룸
• \(P^{(l)}\) : R^3에서 차수가 l인 동차다항식이 이루는 벡터공간
• 라플라시안(Laplacian)\[\Delta : P^{(l)} \to P^{(l-2)}\]
  
• \(\ker \Delta = H^{(l)}\) 를 R^3의 l차 조화다항식이라 한다
• 조화다항식의 정의역을 단위구면 \(S^2\)에 제한할 때, 구면조화함수(spherical harmonics) 를 얻는다

 

 

예 : 2차 조화다항식

\(\begin{array}{l} x^2-y^2 \\ x y \\ x z \\ y z \\ y^2-z^2 \end{array}\)

 

 

예 : 3차 조화다항식

\(\begin{array}{l} -3 x^2 z+z^3 \\ -x^2 y+y z^2 \\ -x^3+3 x z^2 \\ -x^2 z+y^2 z \\ x y z \\ -3 x^2 y+y^3 \\ -x^3+3 x y^2 \end{array}\)

 

 

조화다항식과 구면조화함수

• 조화다항식을 단위구면에서 정의된 함수로 볼 때, 구면조화함수(spherical harmonics) 를 얻는다
  
• 예
  
  • 2차인 조화함수 \(-x^2+2 i x y+y^2\)
    
  • 단위구면 (구면좌표계 참조) \(x = \sin (\theta ) \cos (\phi ),y= \sin (\theta ) \sin (\phi ),z= \cos (\theta )\)
    
  • \(\sin ^2(\theta ) (-\cos (2 \phi )+i \sin (2 \phi ))=-e^{-2 i \phi } \sin ^2(\theta )\)는 \(Y_{2}^{-2}(\theta,\phi)\) 의 상수배이다
    

 

 

역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사 연표

 

 

메모

 

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

 

 

관련된 항목들

• 구면조화함수(spherical harmonics)

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZTYxMGVkMjYtNTRhZS00YWJiLWEwMDktMjNmOGEwYjAwYzUx&sort=name&layout=list&num=50