거듭제곱 잉여 부호와 상호법칙

개요

• 대수적 수론의 주요 정리
• 이차잉여의 상호법칙, 3차 상호법칙을 포괄하는 상호법칙

거듭제곱 잉여 부호

• 힐베르트 부호의 특별한 경우로 이해할 수 있다

기호

• $n\geq 2$ : 자연수
• $K$ : $n$의 단위근 $\zeta_n$이 속해 있는 수체
• \(\mathcal{O}_K\) : $K$의 정수환, \(\zeta_n\in\mathcal{O}_K\)
• \(\mathfrak{p} \subset \mathcal{O}_K \) : $n \not \in \mathfrak{p}$을 만족하는 prime 아이디얼
• $\mathrm{N} \mathfrak{p} : = |\mathcal{O}_K / \mathfrak{p}|$
  • $\mathcal{O}_K / \mathfrak{p}$은 유한체 (finite field)이므로, 소수 $p$와 적당한 $f\in \mathbb{Z}$에 대하여, $\mathrm{N} \mathfrak{p}=p^f$
  • $\zeta_n\in (\mathcal{O}_K / \mathfrak{p})^{\times}$으로 생성되는 부분군의 크기는 $\mathrm{N} \mathfrak{p}-1 =p^f-1$을 나눈다
  • 따라서 \(\mathrm{N} \mathfrak{p} \equiv 1 \pmod{n}\)을 만족한다
• (페르마의 소정리) \(\alpha \in \mathcal{O}_k,\;\;\; \alpha\not\in \mathfrak{p},\)에 대하여 다음이 성립한다

$$ \alpha^{\mathrm{N} \mathfrak{p} -1}\equiv 1 \pmod{\mathfrak{p} }. $$

• 다음을 만족하는 유일한 $s\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$가 존재한다

$$ \alpha^{\frac{\mathrm{N} \mathfrak{p} -1}{n}}\equiv \zeta_n^s\pmod{\mathfrak{p}} $$

정의

• 거듭제곱 잉여 부호 준동형사상 $\left(\frac{\cdot}{\mathfrak{p} }\right)_n : K_{\mathfrak{p}} \to \langle \zeta_n \rangle$을 다음과 같이 정의

$$ \left(\frac{\alpha}{\mathfrak{p} }\right)_n : = \zeta_n^s $$ 여기서 $\zeta_n^s \equiv \alpha^{\frac{\mathrm{N} \mathfrak{p} -1}{n}}\pmod{\mathfrak{p}}$

• $n$과 서로 소인 아이디얼 $\mathfrak{b}=\prod \mathfrak{p}^{\nu_{\mathfrak{p}}}$에 대하여 잉여 부호를 다음과 같이 정의

$$ \left(\frac{\alpha}{\mathfrak{b}}\right)_n:=\prod \left(\frac{\alpha}{\mathfrak{p} }\right)_n^{\nu_{\mathfrak{p}}} $$

상호법칙

정리

$\alpha,\beta\in K^{\times}$가 서로 소이고, $n$과도 서로 소라 하자. 다음이 성립한다 \[\Bigg(\frac{\alpha}{\beta}\Bigg)_n \Bigg(\frac{\beta}{\alpha}\Bigg)_n^{-1}=\prod_{\mathfrak{p}|n\infty}\left(\frac{\alpha,\beta}{\mathfrak{p}}\right))_n\] 여기서 $\left(\frac{\alpha,\beta}{\mathfrak{p}}\right)_n$는 힐베르트 부호, $\infty$는 $K$의 real infinte prime들의 곱 ($n=2$인 경우에만 등장)

관련된 항목들

• 정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)