"순환 행렬(circulant matrix)과 행렬식"의 두 판 사이의 차이
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| + | \det(C_4)&=\left(a_0+a_1+a_2+a_3\right) \left(a_0+\omega ^3 a_1+\omega ^2 a_2+\omega a_3\right) \left(a_0+\omega ^2 a_1+a_2+\omega ^2 a_3\right) \left(a_0+\omega a_1+\omega ^2 a_2+\omega ^3 a_3\right) \\ | ||
| + | &=a_0^4-2 a_2^2 a_0^2-4 a_1 a_3 a_0^2+4 a_2 a_3^2 a_0+4 a_1^2 a_2 a_0-a_1^4+a_2^4-a_3^4+2 a_1^2 a_3^2-4 a_1 a_2^2 a_3 | ||
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* http://videolectures.net/mit18085f07_strang_lec23/ | * http://videolectures.net/mit18085f07_strang_lec23/ | ||
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ||
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxdWtfcFU1dXRKV3M/edit | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxdWtfcFU1dXRKV3M/edit | ||
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
* http://en.wikipedia.org/wiki/circulant_matrix | * http://en.wikipedia.org/wiki/circulant_matrix | ||
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| + | * Irwin Kra and Santiago R. Simanca [http://www.ams.org/notices/201203/rtx120300368p.pdf On Circulant Matrices] | ||
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2014년 1월 20일 (월) 05:11 판
개요
\(C_n=\begin{bmatrix}a_0 & a_{1} & \dots & a_{n-2} & a_{n-1} \\a_{n-1} & a_0 & a_{1} & & a_{n-2} \\\vdots & a_{n-1}& a_0 & \ddots & \vdots \\a_{2} & & \ddots & \ddots & a_{1} \\a_{1} & a_{2} & \dots & a_{n-1} & a_0 \\\end{bmatrix}\) 꼴의 행렬
\(\left( \begin{array}{c} a_0 \end{array} \right)\)
\(\left( \begin{array}{cc} a_0 & a_1 \\ a_1 & a_0 \end{array} \right)\)
\(\left( \begin{array}{ccc} a_0 & a_1 & a_2 \\ a_2 & a_0 & a_1 \\ a_1 & a_2 & a_0 \end{array} \right)\)
\(\left( \begin{array}{cccc} a_0 & a_1 & a_2 & a_3 \\ a_3 & a_0 & a_1 & a_2 \\ a_2 & a_3 & a_0 & a_1 \\ a_1 & a_2 & a_3 & a_0 \end{array} \right)\)
\(\left( \begin{array}{ccccc} a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ a_4 & a_0 & a_1 & a_2 & a_3 \\ a_3 & a_4 & a_0 & a_1 & a_2 \\ a_2 & a_3 & a_4 & a_0 & a_1 \\ a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & a_0 \end{array} \right)\)
행렬식
- 정리
$C_n$의 행렬식은 다음으로 주어진다 \[\det(C_n)=\prod _{j=0}^{n-1} \sum _{k=0}^{n-1} \omega_{j} ^{ k} a_k\] 여기서 \(\omega_j=\exp \left(\frac{2\pi i j}{n}\right)\)
예
\[ \begin{array}{l} \begin{aligned} \det(C_1)&=a_0 \\ \det(C_2)&=\left(a_0+a_1\right) \left(a_0+\omega a_1\right) \\ &=a_0^2-a_1^2 \\ \det(C_3)&=\left(a_0+a_1+a_2\right) \left(a_0+\omega ^2 a_1+\omega a_2\right) \left(a_0+\omega a_1+\omega ^2 a_2\right)\\ &=a_0^3+a_1^3+a_2^3 -3 a_1 a_2 a_0\\ \det(C_4)&=\left(a_0+a_1+a_2+a_3\right) \left(a_0+\omega ^3 a_1+\omega ^2 a_2+\omega a_3\right) \left(a_0+\omega ^2 a_1+a_2+\omega ^2 a_3\right) \left(a_0+\omega a_1+\omega ^2 a_2+\omega ^3 a_3\right) \\ &=a_0^4-2 a_2^2 a_0^2-4 a_1 a_3 a_0^2+4 a_2 a_3^2 a_0+4 a_1^2 a_2 a_0-a_1^4+a_2^4-a_3^4+2 a_1^2 a_3^2-4 a_1 a_2^2 a_3 \end{aligned} \end{array} \]
정수 계수 순환 행렬의 예
$$ \begin{array}{l|l} \left( \begin{array}{c} 1 \end{array} \right) & 1 \\ \hline \left( \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 4 & 1 \end{array} \right) & -15 \\ \hline \left( \begin{array}{ccc} 1 & 4 & 9 \\ 9 & 1 & 4 \\ 4 & 9 & 1 \end{array} \right) & 686 \\ \hline \left( \begin{array}{cccc} 1 & 4 & 9 & 16 \\ 16 & 1 & 4 & 9 \\ 9 & 16 & 1 & 4 \\ 4 & 9 & 16 & 1 \end{array} \right) & -62400 \\ \hline \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 4 & 9 & 16 & 25 \\ 25 & 1 & 4 & 9 & 16 \\ 16 & 25 & 1 & 4 & 9 \\ 9 & 16 & 25 & 1 & 4 \\ 4 & 9 & 16 & 25 & 1 \end{array} \right) & 9406375 \end{array} $$
역사
메모
- http://mathoverflow.net/questions/104368/rational-solutions-to-x3-y3-z3-3xyz-1
- http://videolectures.net/mit18085f07_strang_lec23/
관련된 항목들
수학용어번역
- circulant - 대한수학회 수학용어집
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료
리뷰, 에세이, 강의노트
- Irwin Kra and Santiago R. Simanca On Circulant Matrices