거듭제곱 텐서곱의 분해

개요

• 복소수체 위의 유한차원 벡터공간 $V$에 대한 거듭제곱 텐서곱 $V^{\otimes d}$을 $GL(V)$의 기약표현으로 분해하는 문제
• 대칭군 $S_d$가 $V^{\otimes d}$에 작용함을 이용
• $d$의 분할 $\lambda$에 대하여 영 대칭화 연산자 (Young symmetrizer), $c_{\lambda}\in \mathbb{C}S_n$를 구성
• 각 $\lambda$에 대하여, 벡터공간 $S_{\lambda}V :=\operatorname{Im}(c_{\lambda}|_{V^{\otimes d}})$는 $GL(V)$의 기약표현이 된다

예

$d=2$

• $f(x,y)$는 다음 원소들의 합으로 쓰여진다

$$ \begin{array}{l} \frac{1}{2} (f(x,y)+f(y,x)) \\ \frac{1}{2} (f(x,y)-f(y,x)) \end{array} $$

$d=3$

• $f(x,y,z)$는 다음 원소들의 합으로 쓰여진다

$$ \begin{array}{l} \frac{1}{6} (f(x,y,z)+f(x,z,y)+f(y,x,z)+f(y,z,x)+f(z,x,y)+f(z,y,x)) \\ \frac{1}{3} (f(x,y,z)-f(y,x,z)-f(y,z,x)+f(z,y,x)) \\ \frac{1}{3} (f(x,y,z)+f(y,x,z)-f(z,x,y)-f(z,y,x)) \\ \frac{1}{6} (f(x,y,z)-f(x,z,y)-f(y,x,z)+f(y,z,x)+f(z,x,y)-f(z,y,x)) \end{array} $$

$d=4$

• $f(x,y,z,w)$는 다음 원소들의 합으로 쓰여진다

$$ \begin{array}{l} \frac{1}{24} (f(w,x,y,z)+f(w,x,z,y)+f(w,y,x,z)+\langle\langle 18\rangle\rangle +f(z,x,y,w)+f(z,y,w,x)+f(z,y,x,w)) \\ \frac{1}{8} (f(w,y,x,z)+f(w,y,z,x)+f(x,y,w,z)+\langle\langle 13\rangle\rangle +f(z,y,w,x)+f(z,y,x,w)) \\ \frac{1}{8} (f(w,x,z,y)+f(w,y,z,x)+f(x,w,z,y)+\langle\langle 15\rangle\rangle ) \\ \frac{1}{8} (\langle\langle 14\rangle\rangle +f(y,z,x,w)+f(z,x,y,w)+f(z,y,x,w)) \\ \frac{1}{12} (f(w,x,y,z)-f(w,x,z,y)-f(w,z,x,y)+\langle\langle 18\rangle\rangle +f(z,y,x,w)) \\ \frac{1}{12} (-f(w,x,y,z)-f(w,y,x,z)+f(w,z,x,y)+\langle\langle 14\rangle\rangle +f(z,w,y,x)-f(z,x,y,w)-f(z,y,x,w)) \\ \frac{1}{8} (f(w,y,z,x)-f(w,z,y,x)+\langle\langle 10\rangle\rangle +f(z,x,y,w)-f(z,y,w,x)-f(z,y,x,w)) \\ \frac{1}{8} (f(w,x,z,y)-f(w,y,x,z)-f(w,y,z,x)+\langle\langle 12\rangle\rangle +f(z,y,x,w)) \\ \frac{1}{8} (f(w,x,y,z)-f(w,x,z,y)+\langle\langle 12\rangle\rangle +f(z,y,w,x)-f(z,y,x,w)) \\ \frac{1}{24} (-f(w,x,y,z)+f(w,x,z,y)+\langle\langle 29\rangle\rangle +f(z,x,y,w)+f(z,y,w,x)-f(z,y,x,w)) \end{array} $$

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxZl9IVUMzcGRjenc/edit