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:<math>L_{d_K}'(1)=\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})</math>
  
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* 수체 <math>K=\mathbb{Q}(i)</math>에 대하여 다음이 성립한다
 
* 수체 <math>K=\mathbb{Q}(i)</math>에 대하여 다음이 성립한다
 
:<math>\beta'(1)=L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)})</math>
 
:<math>\beta'(1)=L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)})</math>
 
여기서 $\beta$는 [[디리클레 베타함수]]
 
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<math>L(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}</math> 와 [[후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)|Hurwitz 제타함수]] 의 에르미트 표현 <math>\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}</math>  을 사용하면,
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<math>L'(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}(-\log 4)+4^{-s}\{\zeta'(s,1/4)-\zeta'(s,3/4)\}</math>
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한편 [[다이감마 함수(digamma function)]] 의 값 <math>\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma</math>에서 <math>\Gamma'(1/2)=-\sqrt{\pi}(2\ln2+\gamma)</math> 를 활용하여,
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<math>L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}\gamma+\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(3/4)}{\Gamma(1/4)}\sqrt{2\pi})</math>
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* [[로그 탄젠트 적분(log tangent integral)]] 항목 참조
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* 수체 <math>K=\mathbb{Q}(\omega)</math>, <math>\omega^2+\omega+1=0</math>에 대하여 다음이 성립한다
 
* 수체 <math>K=\mathbb{Q}(\omega)</math>, <math>\omega^2+\omega+1=0</math>에 대하여 다음이 성립한다
 
:<math>L_{-3}'(1)=\frac{\pi}{3\sqrt{3}}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{\sqrt{3}}\ln(\frac{\Gamma(1/3)}{\Gamma(2/3)})</math>
 
:<math>L_{-3}'(1)=\frac{\pi}{3\sqrt{3}}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{\sqrt{3}}\ln(\frac{\Gamma(1/3)}{\Gamma(2/3)})</math>
  
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==관련된 항목들==
 
==관련된 항목들==
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* [[Chowla-셀베르그 공식]]
 
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* [[Birch and Swinnerton-Dyer 추측]]
 
* [[Birch and Swinnerton-Dyer 추측]]
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==관련논문==
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* Yang, T. (2010). The Chowla-Selberg formula and the Colmez conjecture. Canad. J. Math, 62(2), 456-472. http://www.math.wisc.edu/~thyang/ColmezConjectureFinal2010.pdf
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* Anderson, G. W. (1982). [http://archive.numdam.org/ARCHIVE/CM/CM_1982__45_3/CM_1982__45_3_315_0/CM_1982__45_3_315_0.pdf Logarithmic derivatives of Dirichlet $ L $-functions and the periods of abelian varieties]. Compositio Mathematica, 45(3), 315-332.

2014년 1월 28일 (화) 03:19 판

개요

리만제타함수

\[\zeta'(0)=-\log{\sqrt{2\pi}}\]


디리클레 L-함수의 미분

  • \(d_K\)를 판별식으로 갖는 복소이차수체 \(K\)에 대하여, 디리클레 L-함수는 다음을 만족시킴

\[L_{d_K}'(1)=\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})\]


예1

  • 수체 \(K=\mathbb{Q}(i)\)에 대하여 다음이 성립한다

\[\beta'(1)=L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)})\] 여기서 $\beta$는 디리클레 베타함수

\(f\)가 \(f(3)=-1\)인 주기가 4인 디리클레 캐릭터라고 하면, \(p(z)=z-z^3\)

\(L(s) = \sum_{n\geq 1}\frac{f(n)}{n^s}\)

\(L'(1)-\gamma \frac{\pi}{4}=\int_0^{1}\frac{z-z^3}{1-z^4}\log \log\frac{1}{z} \,\frac{dz}{z}=\int_0^{1}\log \log\frac{1}{z} \,\frac{dz}{1+z^2}=\int_1^{\infty}\log \log u \,\frac{du}{1+u^2}\)

\(=\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx\)


이제 \(L'(1)\) 의 값을 구하면 된다.

\(L(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}\) 와 Hurwitz 제타함수 의 에르미트 표현 \(\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}\) 을 사용하면,

\(L'(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}(-\log 4)+4^{-s}\{\zeta'(s,1/4)-\zeta'(s,3/4)\}\)

\(L'(0)=\{\zeta(0,1/4)-\zeta(0,3/4)\}(-\log 4)+\{\zeta'(0,1/4)-\zeta'(0,3/4)\}=-L(0)\log4+\log\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)}\)


\(\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})L(s)\)

가 만족시키는 함수방정식

\(\Lambda(s)=\Lambda(1-s)\)

을 사용하자.

\(L(0)=\frac{1}{2}\) 을 쉽게 얻을 수 있다.

한편 다이감마 함수(digamma function) 의 값 \(\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma\)에서 \(\Gamma'(1/2)=-\sqrt{\pi}(2\ln2+\gamma)\) 를 활용하여,

\(L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}\gamma+\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(3/4)}{\Gamma(1/4)}\sqrt{2\pi})\)

를 얻는다.


따라서 \[\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx=L'(1)- \frac{\pi}{4}\gamma=\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{1}{4})}\sqrt{2\pi})\]


예2

  • 수체 \(K=\mathbb{Q}(\omega)\), \(\omega^2+\omega+1=0\)에 대하여 다음이 성립한다

\[L_{-3}'(1)=\frac{\pi}{3\sqrt{3}}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{\sqrt{3}}\ln(\frac{\Gamma(1/3)}{\Gamma(2/3)})\]



관련된 항목들


관련논문

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