"타원 모듈라 j-함수의 singular moduli"의 두 판 사이의 차이

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\begin{array}{c|c|c|c}
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\tau & j(\tau) & \sqrt[3]{j(\tau )} & \text{factorization} \\
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i & 1728 & 12 & 2^6\cdot 3^3 \\
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\frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{3}\right) & 0 & 0 & 0 \\
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\frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{7}\right) & -3375 & -15 & -3^3 5^3 \\
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i \sqrt{2} & 8000 & 20 & 2^6\cdot 5^3 \\
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\frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{11}\right) & -32768 & -32 & -2^{15} \\
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\frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{19}\right) & -884736 & -96 & -2^{15} 3^3 \\
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\frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{43}\right) & -884736000 & -960 & -2^{18} 3^3 5^3 \\
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\frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{67}\right) & -147197952000 & -5280 & -2^{15} 3^3 5^3 11^3 \\
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\frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{163}\right) & -262537412640768000 & -640320 & -2^{18} 3^3 5^3 23^3 29^3 \\
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i \sqrt{3} & 54000 & 30 \sqrt[3]{2} & 2^4\cdot 3^3\cdot 5^3 \\
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2 i & 287496 & 66 & 2^3\cdot 3^3\cdot 11^3 \\
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i \sqrt{7} & 16581375 & 255 & 3^3\cdot 5^3\cdot 17^3 \\
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\frac{1}{2} \left(-1+3 i \sqrt{3}\right) & -12288000 & 160 \sqrt[3]{-3} & -2^{15} 3^1 5^3 \\
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\sqrt{-5} & 632000+282880 \sqrt{5} & 50+26\sqrt{5} & \\
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\frac {-1+\sqrt{-5}}{2} & 632000-282880 \sqrt{5} & 50-26\sqrt{5} &
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<math> j(\sqrt{-1})=1728=12^3</math>
 
  
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<math>j(\frac {-1+\sqrt{-7}}{2})=-3375=-15^3</math>
 
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<math> j(\sqrt{-2})=8000=20^3</math>
 
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* <math>d_1, d_ 2</math>가 서로 다른 두 복소이차수체 <math>K_1, K_2</math>의 판별식이라 하자.
 
* <math>d_1, d_ 2</math>가 서로 다른 두 복소이차수체 <math>K_1, K_2</math>의 판별식이라 하자.
 
* <math>J(d_ 1,d_ 2)</math>를 <math>\prod_{}\left(j(\alpha_1)-j(\alpha_2)\right)^{\frac{4}{w_1 w_2}}</math> 로 정의하자. 여기서 <math>\alpha_1, \alpha_2</math> 는 각각 $K_1$, $K_2$ 의 ideal class의 representatives
 
* <math>J(d_ 1,d_ 2)</math>를 <math>\prod_{}\left(j(\alpha_1)-j(\alpha_2)\right)^{\frac{4}{w_1 w_2}}</math> 로 정의하자. 여기서 <math>\alpha_1, \alpha_2</math> 는 각각 $K_1$, $K_2$ 의 ideal class의 representatives
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*  (정리)[Gross-Zagier] :<math>J (d_ 1,d_ 2)^2=\prod_{\substack{x,n,n'\in \mathbb{Z}, \\ x^2+4nn'=d_ 1d_ 2, \\ n,n'>0}}n^{\epsilon(n')}</math>
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;정리 [Gross-Zagier]  
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:<math>J (d_ 1,d_ 2)^2=\prod_{\substack{x,n,n'\in \mathbb{Z}, \\ x^2+4nn'=d_ 1d_ 2, \\ n,n'>0}}n^{\epsilon(n')}</math>
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==역사==
 
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
 
* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=

2014년 5월 2일 (금) 07:01 판

개요



예

\begin{array}{c|c|c|c} \tau & j(\tau) & \sqrt[3]{j(\tau )} & \text{factorization} \\ \hline i & 1728 & 12 & 2^6\cdot 3^3 \\ \frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{3}\right) & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{7}\right) & -3375 & -15 & -3^3 5^3 \\ i \sqrt{2} & 8000 & 20 & 2^6\cdot 5^3 \\ \frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{11}\right) & -32768 & -32 & -2^{15} \\ \frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{19}\right) & -884736 & -96 & -2^{15} 3^3 \\ \frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{43}\right) & -884736000 & -960 & -2^{18} 3^3 5^3 \\ \frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{67}\right) & -147197952000 & -5280 & -2^{15} 3^3 5^3 11^3 \\ \frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{163}\right) & -262537412640768000 & -640320 & -2^{18} 3^3 5^3 23^3 29^3 \\ i \sqrt{3} & 54000 & 30 \sqrt[3]{2} & 2^4\cdot 3^3\cdot 5^3 \\ 2 i & 287496 & 66 & 2^3\cdot 3^3\cdot 11^3 \\ i \sqrt{7} & 16581375 & 255 & 3^3\cdot 5^3\cdot 17^3 \\ \frac{1}{2} \left(-1+3 i \sqrt{3}\right) & -12288000 & 160 \sqrt[3]{-3} & -2^{15} 3^1 5^3 \\ \sqrt{-5} & 632000+282880 \sqrt{5} & 50+26\sqrt{5} & \\ \frac {-1+\sqrt{-5}}{2} & 632000-282880 \sqrt{5} & 50-26\sqrt{5} & \end{array}




Gross-Zagier 공식

  • \(d_1, d_ 2\)가 서로 다른 두 복소이차수체 \(K_1, K_2\)의 판별식이라 하자.
  • \(J(d_ 1,d_ 2)\)를 \(\prod_{}\left(j(\alpha_1)-j(\alpha_2)\right)^{\frac{4}{w_1 w_2}}\) 로 정의하자. 여기서 \(\alpha_1, \alpha_2\) 는 각각 $K_1$, $K_2$ 의 ideal class의 representatives
정리 [Gross-Zagier]

\[J (d_ 1,d_ 2)^2=\prod_{\substack{x,n,n'\in \mathbb{Z}, \\ x^2+4nn'=d_ 1d_ 2, \\ n,n'>0}}n^{\epsilon(n')}\]


역사



메모



관련된 항목들


수학용어번역

  • singular - 대한수학회 수학용어집
    • 특이
  • moduli - 대한수학회 수학용어집


매스매티카 파일 및 계산 리소스



관련논문

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