"리치 격자(Leech lattice)"의 두 판 사이의 차이
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| − | homomorphism <math>\alpha : \Gamma \to \mathbb{F}_{2}</math> 를 <math>\alpha(x)=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{24} x_i \pmod 2</math> | + | * 리치격자 $\Lambda_{24}$는 다음과 같이 얻어진다 |
| − | + | :<math>\Lambda_{24}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(A\cup (\frac{\mathbf{1}}{2}+N)\right)</math> | |
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| + | 여기서 $q=e^{2\pi i \tau}$, $E_{4}(\tau)$는 [[아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)]], $\Delta(\tau)$는 [[판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)|판별식 (discriminant) 함수]] | ||
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| − | * <math>\Lambda_{24}\oplus U</math> : unimodular hyperbolic lattice | + | * <math>\Lambda_{24}\oplus U</math> : unimodular hyperbolic lattice |
| − | ** automorphism group - Conway's computation | + | ** automorphism group - Conway's computation |
* [http://www.maths.qmul.ac.uk/%7Eraw/talks_files/Leech.pdf http://www.maths.qmul.ac.uk/~raw/talks_files/Leech.pdf] | * [http://www.maths.qmul.ac.uk/%7Eraw/talks_files/Leech.pdf http://www.maths.qmul.ac.uk/~raw/talks_files/Leech.pdf] | ||
* [http://www.math.lsa.umich.edu/%7Erlg/mathclubtalklattices21oct10d.pdf http://www.math.lsa.umich.edu/~rlg/mathclubtalklattices21oct10d.pdf] | * [http://www.math.lsa.umich.edu/%7Erlg/mathclubtalklattices21oct10d.pdf http://www.math.lsa.umich.edu/~rlg/mathclubtalklattices21oct10d.pdf] | ||
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=leech+lattice | * http://www.wolframalpha.com/input/?i=leech+lattice | ||
* http://oeis.org/A008408 | * http://oeis.org/A008408 | ||
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2014년 5월 28일 (수) 08:49 판
개요
- 24차원의 even unimodular lattice 의 하나로 root를 가지지 않는 유일한 격자
- 24차원의 Kissing number and sphere packings 에서 중요한 역할
구성
- \(\tilde{G}\) 를 [24,12,8] 골레이 코드 (Golay code) 라 하자.
- quotient map \(\rho : \mathbb{Z}^{24}\to \mathbb{F}_{2}^{24}\) 으로부터 even unimodular lattice G를 얻는다.
\[\Gamma=\frac{1}{\sqrt{2}}\rho^{-1}(\tilde{G})\]
- homomorphism \(\alpha : \Gamma \to \mathbb{F}_{2}\) 를 다음과 같이 정의하자
\[\alpha(x)=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{24} x_i \pmod 2\]
- \(A=\alpha^{-1}(0)\) , \(N=\alpha^{-1}(1)\) 로 두면 \(\Gamma=A\cup N\)이다.
- 리치격자 $\Lambda_{24}$는 다음과 같이 얻어진다
\[\Lambda_{24}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(A\cup (\frac{\mathbf{1}}{2}+N)\right)\]
norm 4 벡터
- 196560개의 norm 4벡터를 세 가지 타입으로 나눌 수 있다.
- \((\pm1)^8 0^{16}\) 97152개
- \((\pm2)^2 0^{22}\) 1104개
- \((\pm\frac{1}{2})^{23} (\pm \frac{3}{2})^{1}\) 98304개
세타함수
- 세타함수는 다음과 같다
$$ \begin{align} \theta_{\Lambda_{24}}(\tau)&=E_{4}^3(\tau)-720\Delta(\tau) \\ &=1+196560 q^2+16773120 q^3+398034000 q^4+4629381120 q^5+\cdots \end{align} $$ 여기서 $q=e^{2\pi i \tau}$, $E_{4}(\tau)$는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series), $\Delta(\tau)$는 판별식 (discriminant) 함수
역사
메모
- \(\Lambda_{24}\oplus U\) : unimodular hyperbolic lattice
- automorphism group - Conway's computation
- http://www.maths.qmul.ac.uk/~raw/talks_files/Leech.pdf
- http://www.math.lsa.umich.edu/~rlg/mathclubtalklattices21oct10d.pdf
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료