리대수 so(5)의 유한차원 표현론

개요

• 복소수체 위의 10차원 리대수
• $B_2$ 타입의 단순 리대수

리대수 $\mathfrak{so}(5)$

• $B_2$ 카르탄 행렬

$$ \left( \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -2 & 2 \\ \end{array} \right) $$

• $B_2$ 루트 시스템

\[\Phi= \left\{\alpha _1,\alpha _2,\alpha _1+2 \alpha _2,\alpha _1+\alpha _2,-\alpha _1,-\alpha _2,-\alpha _1-2 \alpha _2,-\alpha _1-\alpha _2\right\} \]

• 바일군, 크기 8인 유한반사군

$$ \{s[], s[1], s[2], s[1, 2], s[2, 1], s[1, 2, 1], s[2, 1, 2], s[1, 2, 1, 2]\} $$

• \(B_2\)의 루트 시스템을 \(\mathbb{R}^2\)안에서 다음과 같이 얻을 수 있다
  • \(\alpha_1=(1,-1)\)
  • \(\alpha_2=(0,1)\)

• fundamental weights
  • $\omega_1=(1,0)$
  • $\omega_2=(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$
• 바일 벡터 \(\rho=(3/2, 1/2)\)

유한차원 기약 표현의 분류

• 유한차원 기약 표현 $V$에 대하여, 적당한 dominant weight $\omega=a\omega_1+b\omega_2, a,b\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$가 존재하여, $V\cong L(\omega)$가 성립
• 바일 차원 공식(Weyl dimension formula)을 이용하면, 다음을 얻는다

$$ \dim L(a\omega_1+b\omega_2)=\frac{1}{6} (a+1) (b+1) (a+b+2) (2 a+b+3) $$

기약표현의 예

• 표현 $V=L(\lambda)$의 지표를 다음과 같이 정의

$$ \chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'} $$

• $x_1=e^{\omega_1}, x_2=e^{\omega_2}$로 두면, $\chi_{\lambda}$는 $\mathbb{Z}[x_1^{\pm},x_2^{\pm}]$의 원소가 된다
• 바일 지표 공식 (Weyl character formula) 항목 참조

예1

• 벡터 표현, highest weight은 $\omega_1$
• 5차원 표현
• 지표

$$ \chi_{\omega_1}=\frac{x_2^2}{x_1}+x_1+\frac{1}{x_1}+\frac{x_1}{x_2^2}+1 $$

• weight diagram

예2

• 스핀 표현, highest weight은 $\omega_2$
• 4차원 표현
• 지표

$$ \chi_{\omega_2}=\frac{x_1}{x_2}+x_2+\frac{1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1} $$

• weight diagram

예3

• highest weight $2\omega_1$
• 14차원 표현
• 지표

$$ \chi_{2\omega_1}=\frac{x_2^4}{x_1^2}+\frac{x_2^2}{x_1}+\frac{x_2^2}{x_1^2}+x_2^2+x_1^2+x_1+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_1^2}+\frac{x_1^2}{x_2^2}+\frac{x_1}{x_2^2}+\frac{1}{x_2^2}+\frac{x_1^2}{x_2^4}+2 $$

• weight diagram

예4

• adjoint 표현, highest weight $2\omega_2$
• 10차원 표현
• 지표

$$ \chi_{2\omega_2}=\frac{x_1^2}{x_2^2}+\frac{x_1}{x_2^2}+x_1+\frac{x_2^2}{x_1^2}+x_2^2+\frac{1}{x_2^2}+\frac{x_2^2}{x_1}+\frac{1}{x_1}+2 $$

• weight diagram

관련된 항목들

• 리대수 sl(3,C)의 유한차원 표현론
• 리대수 so(6)의 유한차원 표현론

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxN2xRWlplbktmQTQ/edit