"베르누이 수에 대한 쿰머 합동식"의 두 판 사이의 차이

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* 쿰머가 발견한 베르누이 수가 만족시키는 합동식
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* p진 L-함수 이론을 통하 이해할 수 있다
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==쿰머 합동식==
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===기호===
 
* 소수 $p$와 정수 $x$에 대하여, $\operatorname{ord}_p x$를 $a\equiv 0\pmod p^m$을 만족하는 최대의 $m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$으로 정의하자
 
* 소수 $p$와 정수 $x$에 대하여, $\operatorname{ord}_p x$를 $a\equiv 0\pmod p^m$을 만족하는 최대의 $m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$으로 정의하자
 
* 유리수 $x=a/b$에 대해서는 $\operatorname{ord}_p x:=\operatorname{ord}_p a-\operatorname{ord}_p b$
 
* 유리수 $x=a/b$에 대해서는 $\operatorname{ord}_p x:=\operatorname{ord}_p a-\operatorname{ord}_p b$
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===쿰머 1===
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$p-1\nmid k$이면 $|B_k/k|_p \leq 1$
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* $p=5$라 두면, 다음이 성립한다
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k & \frac{B_k}{k} & \operatorname{ord}_p \frac{B_k}{k} & \left| \frac{B_k}{k}\right| _5 \\
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(1-p^{k-1})\frac{B_k}{k}\equiv (1-p^{k'-1})\frac{B_{k'}}{k'} \pmod p^{N+1}
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* $p=5$, $N=1$로 두자
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{k,k'} &(1-p^{k-1})\frac{B_k}{k} &(1-p^{k'-1})\frac{B_{k'}}{k'} & \operatorname{ord}_p (1-p^{k-1})\frac{B_k}{k}-(1-p^{k'-1})\frac{B_{k'}}{k'} \\
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\{2,22\} & -\frac{1}{3} & -\frac{9260535240173320423}{69} & 2 \\
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\{14,34\} & -\frac{305175781}{3} & -\frac{4412975905899656936526260615774831}{3} & 2 \\
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* [[P진 해석학(p-adic analysis)]]
 
* [[P진 해석학(p-adic analysis)]]
  
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxR1VJeDZ0VmZhdW8/edit
  
  

2014년 7월 9일 (수) 21:06 판

개요

  • 쿰머가 발견한 베르누이 수가 만족시키는 합동식
  • p진 L-함수 이론을 통하 이해할 수 있다


쿰머 합동식

기호

  • 소수 $p$와 정수 $x$에 대하여, $\operatorname{ord}_p x$를 $a\equiv 0\pmod p^m$을 만족하는 최대의 $m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$으로 정의하자
  • 유리수 $x=a/b$에 대해서는 $\operatorname{ord}_p x:=\operatorname{ord}_p a-\operatorname{ord}_p b$
  • 유리수체 $\mathbb{Q}$위에 함수 $|\cdot|_p$를 다음과 같이 정의하자

$$ |x|_{p} = \begin{cases} \frac{1}{p^{\operatorname{ord}_p x}}, & \text{if $x\neq 0$}\\ 0, & \text{if $x=0$} \\ \end{cases} $$

  • $B_k$는 베르누이 수

쿰머 1

정리

$p-1\nmid k$이면 $|B_k/k|_p \leq 1$

예

  • $p=5$라 두면, 다음이 성립한다

$$ \begin{array}{c|c|c|c} k & \frac{B_k}{k} & \operatorname{ord}_p \frac{B_k}{k} & \left| \frac{B_k}{k}\right| _5 \\ \hline 2 & \frac{1}{12} & 0 & 1 \\ 6 & \frac{1}{252} & 0 & 1 \\ 10 & \frac{1}{132} & 0 & 1 \\ 14 & \frac{1}{12} & 0 & 1 \\ 18 & \frac{43867}{14364} & 0 & 1 \\ 22 & \frac{77683}{276} & 0 & 1 \\ 26 & \frac{657931}{12} & 0 & 1 \\ 30 & \frac{1723168255201}{85932} & 0 & 1 \\ \end{array} $$

쿰머 2

정리2
  1. $p-1\nmid k,k'$이고 $k \equiv k' \pmod {(p-1)p^N}$이면,

$$ (1-p^{k-1})\frac{B_k}{k}\equiv (1-p^{k'-1})\frac{B_{k'}}{k'} \pmod p^{N+1} $$

예

  • $p=5$, $N=1$로 두자

$$ \begin{array}{c|c|c|c} {k,k'} &(1-p^{k-1})\frac{B_k}{k} &(1-p^{k'-1})\frac{B_{k'}}{k'} & \operatorname{ord}_p (1-p^{k-1})\frac{B_k}{k}-(1-p^{k'-1})\frac{B_{k'}}{k'} \\ \hline \{2,22\} & -\frac{1}{3} & -\frac{9260535240173320423}{69} & 2 \\ \{6,26\} & -\frac{781}{63} & -\frac{49019679427146911456611}{3} & 2 \\ \{10,30\} & -\frac{488281}{33} & -\frac{80241274796472862362430841236981}{21483} & 2 \\ \{14,34\} & -\frac{305175781}{3} & -\frac{4412975905899656936526260615774831}{3} & 2 \\ \{18,38\} & -\frac{8366966247547627}{3591} & -\frac{2805067306174551049480214676451415787241}{3} & 2 \\ \end{array} $$


메모


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


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