"16차원 짝수 자기쌍대 격자"의 두 판 사이의 차이

2014년 7월 10일 (목) 17:33 판

격자 $L$에 대한 지겔 세타함수는 지겔 상반 공간 $\mathcal{H}_g=\{Z\in {\rm Mat}(g,\C)\mid Z=Z^t,\ {\rm Im}(Z)>0\}$에서 정의된 함수로

$$\Theta^{(g)}_L(Z)=\sum_{v_1,\,\ldots,\,v_g\in L}e^{2\pi i\,{\rm tr} ((v_1,\ldots,v_g)(v_1,\ldots,v_g)^tZ) }.$$

$E_8^2$격자와 $D_{16}^{+}$격자의 세타함수는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series) $E_4^2=E_8$와 같으며 따라서 가중치평균도 이와 같다

$$ E_4^2(\tau)=1+480 q+61920 q^2+1050240 q^3+7926240 q^4+37500480 q^5+\cdots $$

$\Theta^{(4)}_{E_8^2}(Z)$, $\Theta^{(4)}_{D_{16}^{+}}(Z)$는 $\Gamma_4$에 대한 지겔 모듈라 형식
$\Theta^{(4)}_{E_8^2}-\Theta^{(4)}_{D_{16}^{+}}$는 weight 8인 지겔 cusp 형식으로 Schottky 형식이라 불림

Poor, Cris. 1996. “Schottky’s Form and the Hyperelliptic Locus.” Proceedings of the American Mathematical Society 124 (7): 1987–91. doi:10.1090/S0002-9939-96-03312-6.
Igusa, Jun-ichi. 1981. “Schottky’s Invariant and Quadratic Forms.” In E. B. Christoffel, edited by P. L. Butzer and F. Fehér, 352–62. Birkhäuser Basel. http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-0348-5452-8_24.

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-==세타 급수==
+==격자의 지겔 세타함수==
-* $g=1$의 경우
+* 격자 $L$에 대한 지겔 세타함수는 지겔 상반 공간 $\mathcal{H}_g=\{Z\in {\rm Mat}(g,\C)\mid Z=Z^t,\ {\rm Im}(Z)>0\}$에서 정의된 함수로
+$$\Theta^{(g)}_L(Z)=\sum_{v_1,\,\ldots,\,v_g\in L}e^{2\pi i\,{\rm tr}
+    ((v_1,\ldots,v_g)(v_1,\ldots,v_g)^tZ) }.$$
+* $\Gamma_g:={\rm Sp}(g,\Z)$의 합동부분군 $\Gamma$에 대해 weight이 $n/2$인 [[지겔 모듈라 형식]]
+===g가 1인 경우===
 * $E_8^2$격자와 $D_{16}^{+}$격자의 세타함수는 [[아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)]] $E_4^2=E_8$와 같으며 따라서 가중치평균도 이와 같다
+$$
+E_4^2(\tau)=1+480 q+61920 q^2+1050240 q^3+7926240 q^4+37500480 q^5+\cdots
+$$
+===g가 4인 경우===
+* $\Theta^{(4)}_{E_8^2}(Z)$, $\Theta^{(4)}_{D_{16}^{+}}(Z)$는 $\Gamma_4$에 대한 지겔 모듈라 형식
+* $\Theta^{(4)}_{E_8^2}-\Theta^{(4)}_{D_{16}^{+}}$는 weight 8인 지겔 cusp 형식으로 Schottky 형식이라 불림
 ==관련된 항목들==
+* [[스미스-민코프스키-지겔 질량 공식]]
+==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxUkhvXzBvVlZVZVE/edit