리대수 sl(2,C)의 유한차원 표현론

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• sl(2)의 유한차원 표현론

 

 

개요

• 리대수 \(\mathfrak{sl}(2)\)

 

 

리대수 \(\mathfrak{sl}(2)\)

• \(L=\langle E,F,H \rangle\)
• commutator
  \([E,F]=H\)
  \([H,E]=2E\)
  \([H,F]=-2F\)
  
• universal enveloping algebra의 PBW 기저 \(\{F^kH^lE^m|k,l,m\geq 0\}\)

 

 

highest weight representation

• \(\mathbb{F}\) : algebraically closed field with characteristic 0
• \(V\) :유한차원인 기약표현
• \(V=\oplus_{\lambda\in\mathbb{F}}V_{\lambda}\), \(V_{\lambda}=\{v\in V|Hv=\lambda v\}\)
• \(\lambda\in \mathbb{F}\) 에 대하여, highest weight vector \(v_0\) 를 정의
  \(Ev_0=0\)
  \(Hv_0=\lambda v_0\)
  
• \(v_j:=\frac{F^j}{j!}v_0\) 로 정의하면, 다음 관계가 만족된다
  \(H v_j=(\lambda -2j)v_j\)
  \(F v_j=(j+1)v_{j+1}\)
  \(E v_j=(\lambda -j+1)v_{j-1}\)
  
• \(\{v^j|j\geq 0\}\) 가 생성하는 벡터공간이 유한차원인 L-모듈이 되려면, \(\lambda\in\mathbb{Z}, \lambda\geq 0\) 이 만족되어야 한다

 

 

유한차원 기약표현의 분류

• 각 \(m\geq 0\) 에 대하여, m+1 차원 기약표현 \(V(m)\)가 존재한다
• 모든 유하차원 기약표현 \(V\)에 대하여 적당한 \(m\geq 0\)에 대하여 \(V\simeq V(m)\)

 

 

파울리 행렬

• 파울리 행렬
  
• raising and lowering 연산자
  \(\sigma_{\pm}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}\pm i\sigma_{y})\)
  \(\sigma_{+}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}+ i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}\)
  \(\sigma_{-}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}- i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}\)
  \([\sigma_{z},\sigma_{\pm}]=\pm 2\sigma_{\pm}\)
  

 

 

 

 

역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표

 

 

메모

 

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

 

 

관련된 항목들

• 스핀과 파울리의 배타원리
• 파울리 행렬

 

 

수학용어번역

• 단어사전
  
  • http://translate.google.com/#en%7Cko%7C
  • http://ko.wiktionary.org/wiki/
• 발음사전 http://www.forvo.com/search/
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
• 한국물리학회 물리학 용어집 검색기
• 남·북한수학용어비교
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxTllDZlBkcXRyUkk/edit
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• http://functions.wolfram.com/
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Numbers, constants and computation
• 매스매티카 파일 목록

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• The Online Encyclopaedia of Mathematics
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The World of Mathematical Equations

 

 

 

 

 

관련논문

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://www.ams.org/mathscinet
• http://dx.doi.org/

 

 

관련도서

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  • http://books.google.com/books?q=
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