"후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)"의 두 판 사이의 차이
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<math>L(s,\chi)= \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}=\frac {1}{p^s} \sum_{q=1}^p \chi(q)\; \zeta \left(s,\frac{q}{p}\right)</math> | <math>L(s,\chi)= \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}=\frac {1}{p^s} \sum_{q=1}^p \chi(q)\; \zeta \left(s,\frac{q}{p}\right)</math> | ||
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<math>L(s,\chi) =4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}</math> | <math>L(s,\chi) =4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}</math> | ||
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| − | * [[로그 탄젠트 적분(log tangent integral) | + | * [[로그 탄젠트 적분(log tangent integral)]] |
| − | * [[감마함수]] | + | * [[감마함수]] |
| − | * [[등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리]] | + | * [[등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리]] |
| − | * [[파이가 아니라 2파이다?]] | + | * [[파이가 아니라 2파이다?]] |
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==수학용어번역== | ==수학용어번역== | ||
| + | * {{forvo|url=Hurwitz}} | ||
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
* http://en.wikipedia.org/wiki/Hurwitz_zeta_function | * http://en.wikipedia.org/wiki/Hurwitz_zeta_function | ||
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==관련논문== | ==관련논문== | ||
| − | * [http://www.springerlink.com/content/wql8d40h20jljxp2/ On Some Integrals Involving the Hurwitz Zeta Function: Part 1] | + | * [http://www.springerlink.com/content/wql8d40h20jljxp2/ On Some Integrals Involving the Hurwitz Zeta Function: Part 1] |
| − | ** Olivier | + | ** Olivier Espinosa and Victor H. Moll |
| − | * [http://www.springerlink.com/content/t285842772wv0767/ On Some Integrals Involving the Hurwitz Zeta Function: Part 2] | + | * [http://www.springerlink.com/content/t285842772wv0767/ On Some Integrals Involving the Hurwitz Zeta Function: Part 2] |
| − | ** Olivier | + | ** Olivier Espinosa and Victor H. Moll |
| − | * [http://doi.acm.org/10.1145/258726.258736 A class of logarithmic integrals] | + | * [http://doi.acm.org/10.1145/258726.258736 A class of logarithmic integrals] |
** Victor Adamchik, 1997 | ** Victor Adamchik, 1997 | ||
| − | * [http://www.jstor.org/stable/2322640 The Gamma Function and the Hurwitz Zeta-Function] | + | * [http://www.jstor.org/stable/2322640 The Gamma Function and the Hurwitz Zeta-Function] |
** Bruce C. BerndtThe American Mathematical Monthly, Vol. 92, No. 2 (Feb., 1985), pp. 126-130 | ** Bruce C. BerndtThe American Mathematical Monthly, Vol. 92, No. 2 (Feb., 1985), pp. 126-130 | ||
| − | * [http://projecteuclid.org/euclid.rmjm/1250131668 On the Hurwitz zeta-function] | + | * [http://projecteuclid.org/euclid.rmjm/1250131668 On the Hurwitz zeta-function] |
| − | ** Bruce C. Berndt, Source: Rocky Mountain J. Math. Volume 2, Number 1 (1972), 151-158. | + | ** Bruce C. Berndt, Source: Rocky Mountain J. Math. Volume 2, Number 1 (1972), 151-158. |
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2014년 7월 12일 (토) 19:26 판
개요
\(\zeta(s,a) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+a)^{s}}\)
\(a=1\) 인 경우, 리만제타함수와 리만가설가 됨
\(a=q/p\) 인 경우,
\(\zeta(s,q/p) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+q/p)^{s}}= \sum_{n=0}^\infty \frac{p^s}{(pn+q)^s}\)
덧셈공식
\(k^s\,\zeta(s,kz)= \sum_{n=0}^{k-1}\zeta\left(s,z+\frac{n}{k}\right)\)
디리클레 L-함수와의 관계
\(\chi\)가 주기가 \(p\)인 디리클레 캐릭터라고 하면
\(L(s,\chi)= \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}=\frac {1}{p^s} \sum_{q=1}^p \chi(q)\; \zeta \left(s,\frac{q}{p}\right)\)
\(\chi\)가 \(\chi(3)=-1\)인 주기가 4인 디리클레 캐릭터라고 하면
\(L(s,\chi) =4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}\)
Hermite의 적분표현
\(\operatorname{Re} a > 0 \) 일 때, \(\zeta(s,a)=\frac{1}{2a^s}+\frac{a^{1-s}}{s-1}+2\int_0^{\infty}\frac{\sin[s\tan^{-1}(t/a)]}{(a^2+t^2)^{s/2}}\frac{dt}{e^{2\pi t} -1}\)
감마함수와의 관계
- 정리 (Lerch)
다음이 성립한다 \[\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}\]
- 증명
위에 있는 Hermite의 표현과 감마함수의 Binet's second expression 을 이용■
베르누이 다항식과의 관계
정수 \(n\geq 0\)에 대하여 \(\zeta(-n,x)=-{B_{n+1}(x) \over n+1}\)
특히, \(n=0\)이면 \(\zeta(0,x)= \frac{1}{2} -x\)
메모
\(\zeta(s,a) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+a)^{s}}\)
\(\zeta(s,a+1) =\zeta(s,a)-\frac{1}{a^s}\)
\(\zeta'(s,a+1) =\zeta'(s,a)+a^{-s}\log a\)
\(\zeta'(0,a+1) =\zeta'(0,a)+\log a\)
\(G(a)=e^{\zeta'(0,a)}\)라고 두면, \(G(a+1)=aG(a)\).
\(a>0\) 일때, \(G(a)\)는 로그 볼록성을 가진다.
또한 \(G(a)\)는 \(a>0\)에서 해석함수이다.
감마함수의 성질로부터 \(G(a)=G(1)\Gamma(a)\)
\(G(1)=\zeta'(0)\) 이므로, \(\zeta'(0)=-\log{\sqrt{2\pi}}\) 로부터 (모든 자연수의 곱과 리만제타함수 참조)
\(\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}\) 임이 증명된다.
역사
관련된 항목들
수학용어번역
- Hurwitz - 발음사전 Forvo
사전 형태의 자료
관련논문
- On Some Integrals Involving the Hurwitz Zeta Function: Part 1
- Olivier Espinosa and Victor H. Moll
- On Some Integrals Involving the Hurwitz Zeta Function: Part 2
- Olivier Espinosa and Victor H. Moll
- A class of logarithmic integrals
- Victor Adamchik, 1997
- The Gamma Function and the Hurwitz Zeta-Function
- Bruce C. BerndtThe American Mathematical Monthly, Vol. 92, No. 2 (Feb., 1985), pp. 126-130
- On the Hurwitz zeta-function
- Bruce C. Berndt, Source: Rocky Mountain J. Math. Volume 2, Number 1 (1972), 151-158.