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* $T = \Bigl( {a \atop b/2} \thinspace {b/2 \atop c} \Bigr) \in | * $T = \Bigl( {a \atop b/2} \thinspace {b/2 \atop c} \Bigr) \in | ||
| − | + | M_2({1 \over 2}\Z)$ 대각성분이 정수인 양의 준정부호행렬. | |
* 판별식 $D = b^2-4ac\leq 0$ | * 판별식 $D = b^2-4ac\leq 0$ | ||
* 기본판별식 $D_0$, 체 $\Q(\sqrt{D})$의 판별식 | * 기본판별식 $D_0$, 체 $\Q(\sqrt{D})$의 판별식 | ||
2014년 7월 18일 (금) 07:34 판
$g=2$인 경우
- 지겔-아이젠슈타인 시리즈의 푸리에 전개
$$E_w=\sum_{T}a(T)\exp\left(2\pi i \operatorname{Tr}(T\tau)\right)$$
- $T = \Bigl( {a \atop b/2} \thinspace {b/2 \atop c} \Bigr) \in
M_2({1 \over 2}\Z)$ 대각성분이 정수인 양의 준정부호행렬.
- 판별식 $D = b^2-4ac\leq 0$
- 기본판별식 $D_0$, 체 $\Q(\sqrt{D})$의 판별식
- 정리 ([BLR2014] Thm 3.4)
$E_w$의 푸리에계수 $a(T)$는 $$ a(T)= \begin{cases} 1, & \text{if $a=b=c=0$}\\ {-2w \over B_{w}} \sum_{d | \gcd(a,b,c)} d^{w-1} \alpha(D/d^2), & \text{otherwise} \end{cases} $$ 여기서 $B_{k}$는 베르누이 수이고 $\alpha$는 $$ \alpha(D) = \begin{cases} 1, & \text{if $D=0$}\\ 0, & \text{if $D$ is not a discriminant} \\ {1 \over \zeta(3-2w)} C(w-1,D), & \text{otherwise} \end{cases} $$ 여기서 $C$는 코헨 함수로 다음과 같이 주어진다 $$ C(s-1,D) = L_{D_0}(2-s) \sum_{d \mid f} \mu(d) \left(\frac{D_0}{d}\right) d^{s-2} \sigma_{2s-3}(f/d), \qquad\qquad D = D_0 f^2. $$ 이 때, $\zeta$는 리만제타함수, $L_{D_0}$는 이차수체에 대한 디리클레 L-함수, $\mu$는 뫼비우스 함수, $\left(\frac{\cdot}{\cdot}\right)$는 자코비 부호, $\sigma_n(x)$는 $x$의 약수의 n-거듭제곱의 합.
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관련논문
- [BLR2014] Bröker, Reinier, and Kristin Lauter. 2014. “Evaluating Igusa Functions.” Mathematics of Computation. doi:10.1090/S0025-5718-2014-02816-0.
- Pantchichkine, Alexei. 2012. “Analytic Constructions of P-Adic L-Functions and Eisenstein Series.” arXiv:1204.3878 [math], April. http://arxiv.org/abs/1204.3878.
- Kudla, Stephen S. "Some extensions of the Siegel-Weil formula." Eisenstein series and applications. Birkhäuser Boston, 2008. 205-237.
- King, Oliver. 2003. “A Mass Formula for Unimodular Lattices with No Roots.” Mathematics of Computation 72 (242): 839–63. doi:10.1090/S0025-5718-02-01455-2.
- Katsurada, Hidenori. "An explicit formula for Siegel series." American journal of mathematics (1999): 415-452.
- Shimura, Goro. “The Number of Representations of an Integer by a Quadratic Form.” Duke Mathematical Journal 100, no. 1 (1999): 59–92. doi:10.1215/S0012-7094-99-10002-0.
- Yang, Tonghai. “An Explicit Formula for Local Densities of Quadratic Forms.” Journal of Number Theory 72, no. 2 (1998): 309–56. doi:10.1006/jnth.1998.2258.
- Walling, Lynne H. “Explicit Siegel Theory: An Algebraic Approach.” Duke Mathematical Journal 89, no. 1 (1997): 37–74. doi:10.1215/S0012-7094-97-08903-1.
- Katsurada, Hidenori. "An explicit formula for the Fourier coefficients of Siegel-Eisenstein series of degree $3$." Nagoya Mathematical Journal 146 (1997): 199-223.
- Kitaoka, Yoshiyuki. 1986. “Local Densities of Quadratic Forms and Fourier Coefficients of Eisenstein Series.” Nagoya Mathematical Journal 103: 149–60.
- Kudla, Stephen S. "Seesaw dual reductive pairs." Automorphic forms of several variables (Katata, 1983) 46 (1983): 244-268.