"셀베르그 적분(Selberg integral)"의 두 판 사이의 차이

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* [[오일러 베타적분(베타함수)|오일러 베타적분]]의 일반화:<math>\begin{align} S_{n} (\alpha, \beta, \gamma) & = \int_0^1 \cdots \int_0^1 \prod_{i=1}^n t_i^{\alpha-1}(1-t_i)^{\beta-1} \prod_{1 \le i < j \le n} |t_i - t_j |^{2 \gamma}\,dt_1 \cdots dt_n = \\ & = \prod_{j = 0}^{n-1}  \frac {\Gamma(\alpha + j \gamma) \Gamma(\beta + j \gamma) \Gamma (1 + (j+1)\gamma)}  {\Gamma(\alpha + \beta + (n+j-1)\gamma) \Gamma(1+\gamma)} \end{align}</math><br>
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* [[오일러 베타적분(베타함수)|오일러 베타적분]]의 일반화
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*  n=1 인 경우:<math>S_{1} (\alpha, \beta,\gamma)=B(\alpha,\beta) = \int_0^1t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}\,dt</math><br>
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\begin{align} S_{n} (\alpha, \beta, \gamma) & =  
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\int_0^1 \cdots \int_0^1 \prod_{i=1}^n t_i^{\alpha-1}(1-t_i)^{\beta-1} \prod_{1 \le i < j \le n} |t_i - t_j |^{2 \gamma}\,dt_1 \cdots dt_n \\  
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& = \prod_{j = 0}^{n-1}  \frac {\Gamma(\alpha + j \gamma) \Gamma(\beta + j \gamma) \Gamma (1 + (j+1)\gamma)}  {\Gamma(\alpha + \beta + (n+j-1)\gamma) \Gamma(1+\gamma)} \end{align},</math>
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\Re(\alpha)>0, \Re(\beta)>0, \Re(\gamma)>\max\{-\frac{1}{n},-\frac{\Re{\alpha}}{n-1},-\frac{\Re{\beta}}{n-1}\}
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*  n=1 인 경우
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:<math>S_{1} (\alpha, \beta,\gamma)=B(\alpha,\beta) = \int_0^1t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}\,dt</math>
  
 
 
 
 
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==역사==
 
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2014년 8월 29일 (금) 16:14 판

개요

\[ \begin{align} S_{n} (\alpha, \beta, \gamma) & = \int_0^1 \cdots \int_0^1 \prod_{i=1}^n t_i^{\alpha-1}(1-t_i)^{\beta-1} \prod_{1 \le i < j \le n} |t_i - t_j |^{2 \gamma}\,dt_1 \cdots dt_n \\ & = \prod_{j = 0}^{n-1} \frac {\Gamma(\alpha + j \gamma) \Gamma(\beta + j \gamma) \Gamma (1 + (j+1)\gamma)} {\Gamma(\alpha + \beta + (n+j-1)\gamma) \Gamma(1+\gamma)} \end{align},\] 여기서 $$ \Re(\alpha)>0, \Re(\beta)>0, \Re(\gamma)>\max\{-\frac{1}{n},-\frac{\Re{\alpha}}{n-1},-\frac{\Re{\beta}}{n-1}\} $$

  • n=1 인 경우

\[S_{1} (\alpha, \beta,\gamma)=B(\alpha,\beta) = \int_0^1t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}\,dt\]

 

 

 

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