2차원 이징 모형 (사각 격자)

개요

• $L \times L$ 정사각 격자, $N=L^2$
• 격자의 각 점 $i$에 스핀 $\sigma_i=\pm 1$이 주어짐
• 스핀의 배열 $\sigma=(\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_N)$에 대하여 에너지, 즉 해밀토니안은 다음과 같다

$$ H(\sigma)= -J \sum_{ \left\langle \, {i,j}\, \right\rangle} \sigma_i \sigma_j $$ 여기서 합은 가장 가까운 이웃들의 쌍 $\left\langle \, {i,j}\, \right\rangle$에 대하여 행한다

• $J>0$이면, 이는 강자성체의 모형이 된다

분배함수

• $T$ 온도
• $k$ 볼츠만 상수
• $\beta=1/(kT)$
• 분배함수 $Z_N(\beta)$는 모든 가능한 스핀 배열에 대하여 $\exp\left(-\beta H(\sigma)\right)$를 더한 값으로 정의, 즉

$$ Z_N(\beta) = \sum_{\sigma} e^{-\beta H} $$

• 자유에너지는

$$ F= - kT \ln Z_N $$

• 열역학적 극한에서 스핀당 자유에너지

$$ f= - k T \ln \lambda $$ 여기서 $\lambda= \lim_{N\to \infty } Z_N^{1/N}$

정리 (온새거, 1944)

$$ \begin{aligned} \ln \lambda & = \ln{2 \cosh(2K)}+ {1\over 2\pi^2}\int_0^\pi\int_0^\pi\ln (1-4\kappa \cos \omega_1 \cos \omega_2)\, d\,\omega_1 d\,\omega_2 \\ & = \ln{2 \cosh(2K)}+ \frac{1}{2 \pi}\int_0^{\pi } \log \left( \frac{1+\sqrt{1-16 k^2 \cos ^2(\omega_1)}}{2}\right) \, d\,\omega_1 \\ & = \ln{2 \cosh(2K)}-\sum _{n=1}^{\infty } \binom{2 n}{n}^2 \frac{\kappa^{2 n}}{4 n} \end{aligned} $$ 여기서 $K=\frac{J}{2kT}$, $2\kappa = \tanh(2K) \operatorname{sech}(2K)$

전달행렬

• $N\times M$ 사각 격자의 이징 모형
• 분배함수는 다음과 같이 주어짐

$$ Z=\sum e^{-\beta H}=\sum_{s_{11},\cdots, s_{NM}}\exp \sum_{n,m} (K_1s_{n\,m}s_{n+1\,m}+K_2s_{n\,m}s_{n\,m+1}) $$

• 한 층에 해당하는 스핀 $S_n=\{s_{n1},\cdots, s_{nM}\}$을 도입하면, 분배함수는 다음과 같이 쓰여진다

$$ Z_{N,M}=\sum_{S'_1,S_1,\cdots, S'_N,S_N} (V_1)_{S_1S'_2}(V_2)_{S_2S'_2}\cdots(V_1)_{S_NS'_1}(V_2)_{S_1S'_1} $$ 이 때, $$ (V_1)_{S_nS'_{n+1}}=\exp(K_1\sum_{m}s_{n\,m}s_{n+1\,m}), $$ $$ (V_2)_{S'_nS_{n}}=\exp(K_2\sum_{m}s_{n\,m}s_{n\,m+1})\prod_{m}\delta_{s_{n\,m}s'_{n\, m}} $$

• 1차원 이징 모형(Ising model)에서와 유사하게, $2^M\times 2^M$ 행렬 $V_1,V_2$를 다음과 같이 표현할 수 있다

$$ V_1 =(2\sinh 2K_1)^{M/2}\exp (K_1^* \sum_{m=1}^M \sigma_m^x) $$ $$ V_2=\exp (K_2 \sum_{m=1}^M \sigma_m^z\sigma_{m+1}^z) $$ 여기서 $\tanh K_1^*=e^{-2K_1}$이고 $\sigma^x, \sigma^z$를 파울리 행렬이라 하면, $m=1\cdots M$에 대하여 \[\sigma_m^x=1\otimes 1\otimes \cdots \otimes \underbrace{\sigma^x}_\mathrm{m-th place} \cdots \otimes 1,\] \[\sigma_m^z=1\otimes 1\otimes \cdots \otimes \underbrace{\sigma^z}_\mathrm{m-th place} \cdots \otimes 1\]

전달행렬의 대각화

• 전달행렬은 $T=V_2^{1/2}V_1V_2^{1/2}$
• 요르단-위그너 변환(Jordan-Wigner transformation)

관련된 항목들

• 1차원 이징 모형(Ising model)

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Square-lattice_Ising_model

관련논문

• Viswanathan, G. M. ‘The Hypergeometric Series for the Partition Function of the 2-D Ising Model’. arXiv:1411.2495 [cond-Mat], 10 November 2014. http://arxiv.org/abs/1411.2495.