"모든 자연수의 곱과 리만제타함수"의 두 판 사이의 차이
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| + | :<math>\zeta(s)=\frac{\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}</math> | ||
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| − | <math>\zeta(s)=\frac{\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}</math> | + | :<math>\zeta(s)=\frac{\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}</math> |
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| − | <math>f(s)=s\zeta(1-s)</math> | + | <math>f(s)=s\zeta(1-s)</math> 라 두자. |
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| − | <math>\zeta(s)=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma(\frac{1-s}{2})f(s)}{2\Gamma(\frac{s}{2}+1)}</math> | + | <math>\zeta(s)=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma(\frac{1-s}{2})f(s)}{2\Gamma(\frac{s}{2}+1)}</math> 의 <math>s=0</math> 에서의 로그미분값을 계산하면, 다음을 얻는다 |
| + | :<math>\frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)}=\log\pi-\frac{1}{2}\frac{\Gamma'(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2})}+\frac{f'(0)}{f(0)}-\frac{1}{2}\frac{\Gamma'(1)}{\Gamma(1)}=\log\pi-\frac{1}{2}(\psi(1)+\psi(\frac{1}{2}))+ \frac{f'(0)}{f(0)} </math> | ||
| + | 여기서 <math>\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}</math> | ||
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| − | + | 이에 대해서는 [[감마함수]] 의 [[다이감마 함수(digamma function)|Digamma]] 함수 부분 참조. | |
| − | + | 한편, <math>\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1))</math> 를 이용하면, <math>s=0</math> 주변에서 <math>f(s)=-1+\gamma s+O(s^2)</math> . | |
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* [[수학사 연표]] | * [[수학사 연표]] | ||
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==관련된 항목들== | ==관련된 항목들== | ||
| + | * [[리만제타함수]] | ||
* [[스펙트럼 제타 함수]] | * [[스펙트럼 제타 함수]] | ||
| − | * [[파이가 아니라 2파이다?]] | + | * [[파이가 아니라 2파이다?]] |
* [[L-함수의 미분]] | * [[L-함수의 미분]] | ||
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| + | ==관련논문== | ||
| + | * García, E. Muñoz, and R. Pérez Marco. “The Product Over All Primes Is 4π2.” Communications in Mathematical Physics 277, no. 1 (January 1, 2008): 69–81. doi:10.1007/s00220-007-0350-z. | ||
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[[분류:리만 제타 함수]] | [[분류:리만 제타 함수]] | ||
2014년 11월 25일 (화) 03:51 판
개요
- 모든 자연수의 곱은 물론 발산
- 리만제타함수의 0에서의 미분값을 묻는 문제로 이해할 수 있음
- \(\zeta'(0)=-\log{\sqrt{2\pi}}\) (아래에서 증명함)
- \(\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}\) , \(\zeta'(s)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log n}{n^s}\)
- 여기서 (형식적으로)\[\zeta'(0)=-\sum_{n=1}^{\infty}\log n\]\[\prod_{1}^{\infty} n =\sqrt{2\pi}\]
- 즉 모든 자연수의 곱은 \(\sqrt{2\pi}\) (!?)
증명에 앞서 알아야 할 사실들
\[\zeta(s)=\frac{\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}\]
증명
\[\zeta(s)=\frac{\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}\]
\(f(s)=s\zeta(1-s)\) 라 두자.
\(\zeta(s)=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma(\frac{1-s}{2})f(s)}{2\Gamma(\frac{s}{2}+1)}\) 의 \(s=0\) 에서의 로그미분값을 계산하면, 다음을 얻는다 \[\frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)}=\log\pi-\frac{1}{2}\frac{\Gamma'(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2})}+\frac{f'(0)}{f(0)}-\frac{1}{2}\frac{\Gamma'(1)}{\Gamma(1)}=\log\pi-\frac{1}{2}(\psi(1)+\psi(\frac{1}{2}))+ \frac{f'(0)}{f(0)} \] 여기서 \(\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}\)
\(\frac{f'(0)}{f(0)}=-\gamma\), \(\psi(1) = -\gamma\,\!\), \(\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma\)감마함수
이에 대해서는 감마함수 의 Digamma 함수 부분 참조.
한편, \(\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1))\) 를 이용하면, \(s=0\) 주변에서 \(f(s)=-1+\gamma s+O(s^2)\) .
따라서 다음값을 얻는다.
\[\frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)}=\log\pi-\frac{1}{2}(-\gamma-2\ln2-\gamma)-\gamma=\log 2\pi\]
\[\zeta(0)=-\frac{1}{2}\] 이므로, \(\zeta'(0)=-\log \sqrt{2\pi}\)
역사
관련된 항목들
관련논문
- García, E. Muñoz, and R. Pérez Marco. “The Product Over All Primes Is 4π2.” Communications in Mathematical Physics 277, no. 1 (January 1, 2008): 69–81. doi:10.1007/s00220-007-0350-z.