2차원 이징 모형 (사각 격자)

개요

• $L \times L$ 정사각 격자, $N=L^2$
• 격자의 각 점 $i$에 스핀 $\sigma_i=\pm 1$이 주어짐
• 스핀의 배열 $\sigma=(\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_N)$에 대하여 에너지, 즉 해밀토니안은 다음과 같다

$$ H(\sigma)= -J \sum_{ \left\langle \, {i,j}\, \right\rangle} \sigma_i \sigma_j $$ 여기서 합은 가장 가까운 이웃들의 쌍 $\left\langle \, {i,j}\, \right\rangle$에 대하여 행한다

• $J>0$이면, 이는 강자성체의 모형이 된다

분배함수

• $T$ 온도
• $k$ 볼츠만 상수
• $\beta=1/(kT)$
• 분배함수 $Z_N(\beta)$는 모든 가능한 스핀 배열에 대하여 $\exp\left(-\beta H(\sigma)\right)$를 더한 값으로 정의, 즉

$$ Z_N(\beta) = \sum_{\sigma} e^{-\beta H} $$

• 자유에너지는

$$ F= - kT \ln Z_N $$

• 열역학적 극한에서 스핀당 자유에너지

$$ f= - k T \ln \lambda $$ 여기서 $\lambda= \lim_{N\to \infty } Z_N^{1/N}$

정리 (온새거, 1944)

$$ \begin{aligned} \ln \lambda & = \ln{2 \cosh(2K)}+ {1\over 2\pi^2}\int_0^\pi\int_0^\pi\ln (1-4\kappa \cos \omega_1 \cos \omega_2)\, d\,\omega_1 d\,\omega_2 \\ & = \ln{2 \cosh(2K)}+ \frac{1}{2 \pi}\int_0^{\pi } \log \left( \frac{1+\sqrt{1-16 k^2 \cos ^2(\omega_1)}}{2}\right) \, d\,\omega_1 \\ & = \ln{2 \cosh(2K)}-\sum _{n=1}^{\infty } \binom{2 n}{n}^2 \frac{\kappa^{2 n}}{4 n} \end{aligned} $$ 여기서 $K=\frac{J}{2kT}$, $2\kappa = \tanh(2K) \operatorname{sech}(2K)$

전달행렬

• $M\times N$ 사각 격자의 이징 모형
• 분배함수는 다음과 같이 주어짐

$$ Z=\sum_{\{s\}} e^{-\beta H(\{s\})}=\sum_{\{s\}}\prod_{n=1}^N\prod_{m=1}^M \exp (K_1s_{m,n}s_{m+1,n}+K_2s_{m,n}s_{m,n+1}) \label{Zustandssumme} $$

• 한 층에 해당하는 스핀 $S_n=\{s_{1,n},\cdots, s_{M,n}\}$을 도입하면, \ref{Zustandssumme}는 다음과 같이 쓰여진다

$$ \begin{aligned} Z&=\sum_{\{s\}}\prod_{n=1}^N \exp (\sum_{m=1}^M K_1s_{m,n}s_{m+1,n}) \exp (\sum_{m=1}^M K_2s_{m,n}s_{m,n+1})\\ &=\sum_{S_1,\cdots, S_N} (V_1)_{S_1}(V_2)_{S_1S_2}(V_1)_{S_2}(V_2)_{S_2S_3}\cdots(V_1)_{S_N}(V_2)_{S_NS_1} \\ &=\sum_{S_1,\cdots, S_N} (V_1)_{S_1}^{1/2}(V_2)_{S_1S_2}(V_1)_{S_2}^{1/2}(V_1)_{S_2}^{1/2}(V_2)_{S_2S_3}\cdots(V_1)_{S_N}^{1/2}(V_2)_{S_NS_1}(V_1)_{S_1}^{1/2} \end{aligned} \label{Zustandssumme2} $$ 여기서 $$ \begin{aligned} (V_1)_{S_{n}}&=\exp(K_1\sum_{m=1}^M s_{m,n}s_{m+1,n}) \\ (V_2)_{S_nS_{n+1}}&=\exp(K_2\sum_{m=1}^M s_{m,n}s_{m,n+1}) \end{aligned}\label{entry} $$

• 1차원 이징 모형(Ising model)에서와 유사하게, $(\mathbb{C}^2)^{\otimes N}$에 작용하는 연산자 $V_1,V_2$를 다음과 같이 정의하자

$$ V_1=\exp (K_1 \sum_{m=1}^M \sigma_m^z\sigma_{m+1}^z) $$ $$ V_2 =(2\sinh 2K_2)^{M/2}\exp (K_2^* \sum_{m=1}^M \sigma_m^x) $$ 여기서 $\tanh K_2^*=e^{-2K_2}$이고 $\sigma^x, \sigma^z$를 파울리 행렬이라 하면, $m=1,\cdots, M$에 대하여 \[\sigma_m^x=1\otimes 1\otimes \cdots \otimes \underbrace{\sigma^x}_\mathrm{m-th place} \cdots \otimes 1,\] \[\sigma_m^z=1\otimes 1\otimes \cdots \otimes \underbrace{\sigma^z}_\mathrm{m-th place} \cdots \otimes 1\]

• 표준적인 $(\mathbb{C}^2)^{\otimes N}$의 기저 $\{S_{1},\cdots, S_{2^M}\}$를 이용하여, $V_1$와 $V_2$를 $2^M\times 2^M$ 행렬로 이해할 수 있고, 이 때 행렬의 성분은 \ref{entry}로 주어지게 된다
• \ref{Zustandssumme2}는 이제 다음과 같이 쓸 수 있다

$$ Z= \operatorname{Tr} (V_1^{1/2}V_2V_1^{1/2})^N=\operatorname{Tr} T^N $$ 여기서 $T=V_1^{1/2}V_2V_1^{1/2}$

• $T=V_1^{1/2}V_2V_1^{1/2}$를 전달행렬 (transfer matrix)이라 부르며, 분배함수 $Z$를 구하는 문제는 이제 $T$를 대각화하는 문제로 이해할 수 있다

=unitary transformation

• 다음의 변환을 적용

$$ \sigma^x\mapsto -\sigma^z \\ \sigma^z\mapsto -\sigma^x $$

• $UV_1U^{-1}=\exp\left[K_1\sum_{j=1}^{M-1}(c_j^\dagger-c_j)(c_{j+1}^\dagger+c_{j+1})-K_1(c_M^\dagger-c_M)(c_{1}^\dagger+c_{1})\prod_{m=1}^M (1-2c_{m}^\dagger c_{m})\right]$
• $c_{m}^\dagger c_{m}$은 number operator
• $c_{M+1}^\dagger=(-1)^{N_F-1}c_{1}^\dagger$, $c_{M+1}=(-1)^{N_F-1}c_{1}$
• $UV_1U^{-1}=\exp\left[K_1\sum_{j=1}^M(c_j^\dagger-c_j)(c_{j+1}^\dagger+c_{j+1})\right]$

전달행렬의 대각화

• 요르단-위그너 변환(Jordan-Wigner transformation)

메모

• \(T_c=2/\ln(1+\sqrt2)=2.269\)

관련된 항목들

• 1차원 이징 모형(Ising model)
• 2차원 이징 모형의 크라머르스-바니어 쌍대성

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Square-lattice_Ising_model

리뷰, 에세이, 강의노트

• Suzuki, Sei, Jun-ichi Inoue, and Bikas K. Chakrabarti. “Transverse Ising Chain (Pure System).” In Quantum Ising Phases and Transitions in Transverse Ising Models, 13–46. Lecture Notes in Physics 862. Springer Berlin Heidelberg, 2013. http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-33039-1_2.
• http://people.ccmr.cornell.edu/%7Eginsparg/Phys446-546/ising2d.pdf
• http://www.colorado.edu/physics/phys7240/phys7240_fa12/notes/Week3.pdf
• The Phase Transition of the 2D-Ising Model
• The Ising model

관련논문

• Viswanathan, G. M. ‘The Hypergeometric Series for the Partition Function of the 2-D Ising Model’. arXiv:1411.2495 [cond-Mat], 10 November 2014. http://arxiv.org/abs/1411.2495.