"2차원 이징 모형의 크라머르스-바니어 쌍대성"의 두 판 사이의 차이
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Pythagoras0 (토론 | 기여) (새 문서: ==개요== * <math>T_c=2/\ln(1+\sqrt2)=2.269</math> ==사전 형태의 자료== * http://en.wikipedia.org/wiki/Kramers-Wannier_duality ==에세이, 리뷰, 강의노트== * [http...) |
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| + | * [[2차원 이징 모형 (사각 격자)]]의 해밀토니안을 다음과 같이 정의 | ||
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| + | -\beta H(\{s\})=-\sum_{n=1}^N\sum_{m=1}^M (K s_{m,n}s_{m+1,n}+K s_{m,n}s_{m,n+1}) | ||
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| + | * 분배함수 | ||
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| + | Z =\sum_{\{s\}} e^{-\beta H(\{s\})} \label{Zustandssumme} | ||
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| + | * 함수 $W:\mathbb{Z}/(2)\to \mathbb{R}$를 $W(0)=e^K$, $W(1)=e^K$로 정의하면 다음을 얻는다 | ||
| + | $$e^{-\beta H(\{s\})}=\prod_{\langle i,j \rangle}W(s_i-s_j \mod 2)$$ | ||
| + | * 푸리에 변환 $\widehat{W}$은 $W(0)=\widehat{W}(0)+\widehat{W}(1)$, $W(1)=\widehat{W}(0)-\widehat{W}(1)$을 만족 | ||
| + | * 사각격자의 각 면마다 스핀을 배열하고 다음과 같은 볼츠만 가중치를 갖는 쌍대 모형을 정의할 수 있다 | ||
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| + | e^{-\beta \widehat{H}(\{\sigma\})}=\prod_{\langle \mu,\nu \rangle}\widehat{W}(\sigma_{\mu}-\sigma_{\nu} \mod 2) | ||
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| + | * 분배함수 \ref{Zustandssumme}는 다음을 만족한다 | ||
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| + | Z=2^{MN}\sum_{\{\sigma\}}\prod_{\langle \mu,\nu \rangle}\widehat{W}(\sigma_{\mu}-\sigma_{\nu} \mod 2) | ||
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| + | ==임계온도== | ||
| + | * $\widehat{W}(0)=e^{\tilde{K}}$, $\widehat{W}(1)=e^{-\tilde{K}}$로 두면 두 결합상수 $K, \tilde{K}$ 사이에 다음과 같은 관계가 성립한다 | ||
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| + | \sinh(2K)\sinh(2\tilde K)=1 | ||
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| + | * 이징 모형이 $K=K_c$에서 임계점을 가지면, 쌍대 모형도 같은 곳에서 임계점을 가져야 한다 | ||
| + | * 따라서 이징 모형의 임계온도 $K_c$가 유일하다고 가정하면 이는 다음을 만족한다 | ||
| + | $$\sinh(2K_c)^2=1$$ | ||
| + | * <math>K_c=\frac{1}{2}\ln(1+\sqrt2)=0.440687\cdots</math> | ||
2015년 1월 22일 (목) 04:38 판
개요
- 원환면에 놓인 $M\times N$ 크기 2차원 사각격자 $L$
- 2차원 이징 모형 (사각 격자)의 해밀토니안을 다음과 같이 정의
$$ -\beta H(\{s\})=-\sum_{n=1}^N\sum_{m=1}^M (K s_{m,n}s_{m+1,n}+K s_{m,n}s_{m,n+1}) $$
- 분배함수
$$ Z =\sum_{\{s\}} e^{-\beta H(\{s\})} \label{Zustandssumme} $$
- 함수 $W:\mathbb{Z}/(2)\to \mathbb{R}$를 $W(0)=e^K$, $W(1)=e^K$로 정의하면 다음을 얻는다
$$e^{-\beta H(\{s\})}=\prod_{\langle i,j \rangle}W(s_i-s_j \mod 2)$$
- 푸리에 변환 $\widehat{W}$은 $W(0)=\widehat{W}(0)+\widehat{W}(1)$, $W(1)=\widehat{W}(0)-\widehat{W}(1)$을 만족
- 사각격자의 각 면마다 스핀을 배열하고 다음과 같은 볼츠만 가중치를 갖는 쌍대 모형을 정의할 수 있다
$$ e^{-\beta \widehat{H}(\{\sigma\})}=\prod_{\langle \mu,\nu \rangle}\widehat{W}(\sigma_{\mu}-\sigma_{\nu} \mod 2) $$
- 분배함수 \ref{Zustandssumme}는 다음을 만족한다
$$ Z=2^{MN}\sum_{\{\sigma\}}\prod_{\langle \mu,\nu \rangle}\widehat{W}(\sigma_{\mu}-\sigma_{\nu} \mod 2) $$
임계온도
- $\widehat{W}(0)=e^{\tilde{K}}$, $\widehat{W}(1)=e^{-\tilde{K}}$로 두면 두 결합상수 $K, \tilde{K}$ 사이에 다음과 같은 관계가 성립한다
$$ \sinh(2K)\sinh(2\tilde K)=1 $$
- 이징 모형이 $K=K_c$에서 임계점을 가지면, 쌍대 모형도 같은 곳에서 임계점을 가져야 한다
- 따라서 이징 모형의 임계온도 $K_c$가 유일하다고 가정하면 이는 다음을 만족한다
$$\sinh(2K_c)^2=1$$
- \(K_c=\frac{1}{2}\ln(1+\sqrt2)=0.440687\cdots\)
사전 형태의 자료
에세이, 리뷰, 강의노트
관련논문
- Kramers, H. A., and G. H. Wannier. “Statistics of the Two-Dimensional Ferromagnet. Part I.” Physical Review 60, no. 3 (August 1, 1941): 252–62. doi:10.1103/PhysRev.60.252.