"타원곡선의 L-함수"의 두 판 사이의 차이

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* 하세-베유 (Hasse-Weil) 제타함수라고도 함
 
* 하세-베유 (Hasse-Weil) 제타함수라고도 함
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* 타원 곡선 E의 conductor가 N일 때, 다음과 같이 정의됨  
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* 타원 곡선 $E$가 $y^2=h(x)$, $h(x)$는 중근을 갖지 않는 정수계수 3차 다항식, 꼴로 주어졌다고 가정
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:<math>L(s,E)=\prod_pL_p(s,E)^{-1}</math> 여기서 :<math>L_p(s,E)=\left\{\begin{array}{ll} (1-a_p p^{-s}+p^{1-2s}), & \mbox{if }p\nmid N \\ (1-a_pp^{-s}), & \mbox{if }p||N \\ 1, & \mbox{if }p^2|N \end{array}\right.</math>
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* 타원 곡선 E의 conductor가 N일 때, $L$-함수 $L(E,s)$는 다음과 같이 정의됨  
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:<math>L(E,s)=\prod_pL_p(E,s)^{-1}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}\label{Les}</math>  
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:<math>L_p(E,s)=\left\{\begin{array}{ll} (1-a_p p^{-s}+p^{1-2s}), & \mbox{if }p\nmid N \\ (1-a_pp^{-s}), & \mbox{if }p||N \\ 1, & \mbox{if }p^2|N \end{array}\right.</math>
 
*  여기서 <math>a_p</math>는 유한체위에서의 해의 개수와 관련된 정수로 <math>a_p=p+1-\#E(\mathbb{F}_p)</math> (위의 Hasse-Weil 정리)
 
*  여기서 <math>a_p</math>는 유한체위에서의 해의 개수와 관련된 정수로 <math>a_p=p+1-\#E(\mathbb{F}_p)</math> (위의 Hasse-Weil 정리)
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* [[Birch and Swinnerton-Dyer 추측]] 항목 참조
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* $\Re(s)>\frac{3}{2}$이면, \ref{Les}는 절대수렴한다
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==함수방정식==
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* $\Lambda(s)  = N^{s/2}(2\pi)^{-s}\ \Gamma(s)L(E,s)$
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* 다음이 성립한다
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\Lambda(2-s)=\epsilon \Lambda(s)
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여기서 $\epsilon=\pm 1$
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* $\Gamma(s)$가 $s=0$에서 단순 극(pole)을 가지므로, $L(E,s)=0$이다
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* 따라서
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\Lambda(2)=\frac{N}{(2\pi)^2}L(E,2)=\epsilon \Lambda(0)=\epsilon L'(E,0)
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2015년 1월 24일 (토) 15:54 판

개요

  • http://cgd.best.vwh.net/home/flt/flt06.htm#intro
  • 하세-베유 (Hasse-Weil) 제타함수라고도 함
  • 타원 곡선 $E$가 $y^2=h(x)$, $h(x)$는 중근을 갖지 않는 정수계수 3차 다항식, 꼴로 주어졌다고 가정
  • 타원 곡선 E의 conductor가 N일 때, $L$-함수 $L(E,s)$는 다음과 같이 정의됨

\[L(E,s)=\prod_pL_p(E,s)^{-1}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}\label{Les}\] 여기서 \[L_p(E,s)=\left\{\begin{array}{ll} (1-a_p p^{-s}+p^{1-2s}), & \mbox{if }p\nmid N \\ (1-a_pp^{-s}), & \mbox{if }p||N \\ 1, & \mbox{if }p^2|N \end{array}\right.\]

  • 여기서 \(a_p\)는 유한체위에서의 해의 개수와 관련된 정수로 \(a_p=p+1-\#E(\mathbb{F}_p)\) (위의 Hasse-Weil 정리)
  • $\Re(s)>\frac{3}{2}$이면, \ref{Les}는 절대수렴한다


함수방정식

  • $\Lambda(s) = N^{s/2}(2\pi)^{-s}\ \Gamma(s)L(E,s)$
  • 다음이 성립한다

$$ \Lambda(2-s)=\epsilon \Lambda(s) $$ 여기서 $\epsilon=\pm 1$

  • $\Gamma(s)$가 $s=0$에서 단순 극(pole)을 가지므로, $L(E,s)=0$이다
  • 따라서

$$ \Lambda(2)=\frac{N}{(2\pi)^2}L(E,2)=\epsilon \Lambda(0)=\epsilon L'(E,0) $$


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