"타원 내의 격자점 개수 문제"의 두 판 사이의 차이
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| + | * Kordyukov, Yuri A., and Andrey A. Yakovlev. “On a Problem of Geometry of Numbers Arising in Spectral Theory.” arXiv:1507.06279 [math], July 22, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.06279. | ||
* Lagacé, Jean, and Leonid Parnovski. ‘A Generalised Gauss Circle Problem and Integrated Density of States’. arXiv:1506.07115 [math-Ph], 23 June 2015. http://arxiv.org/abs/1506.07115. | * Lagacé, Jean, and Leonid Parnovski. ‘A Generalised Gauss Circle Problem and Integrated Density of States’. arXiv:1506.07115 [math-Ph], 23 June 2015. http://arxiv.org/abs/1506.07115. | ||
* Shaneson, Julius L. “Estimates on Lattice Points in the Circle.” arXiv:1409.2446 [math], September 8, 2014. http://arxiv.org/abs/1409.2446. | * Shaneson, Julius L. “Estimates on Lattice Points in the Circle.” arXiv:1409.2446 [math], September 8, 2014. http://arxiv.org/abs/1409.2446. | ||
2015년 7월 22일 (수) 20:47 판
개요
- 타원 \(Ax^2+Bxy+Cy^2=T\) , \(A>0\), \(C>0\), \(T>0\)
- 판별식 \(\Delta=b^2-4ac\)
- 타원 내부의 넓이는 \(\frac{2\pi T}{\sqrt{|\Delta|}}\)
- 정리
타원 \(Ax^2+Bxy+Cy^2=T\) , \(A>0\), \(C>0\), \(T>0\) 의 내부에 있는 정수격자점의 개수 \(N(T)\)에 대하여, $T\to \infty$일 때, 다음이 성립한다. \[|N(T)-\frac{2\pi T}{\sqrt{|\Delta|}}| \approx O(\sqrt{T})\]
예
- 타원 $5 x^2+3 x y+2 y^2=20$ 의 경우
- 내부의 격자점의 개수는 23, 타원의 넓이는 $\frac{40 \pi }{\sqrt{31}}\sim 22.5699$
관련된 항목들
계산 리소스
- https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxVGdvZ2VMZ0t5YVk/edit
- http://mathematica.stackexchange.com/questions/16094/highlight-integer-points-in-regionplot/16105#16105
사전 형태의 자료
리뷰, 에세이, 강의노트
관련논문
- Kordyukov, Yuri A., and Andrey A. Yakovlev. “On a Problem of Geometry of Numbers Arising in Spectral Theory.” arXiv:1507.06279 [math], July 22, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.06279.
- Lagacé, Jean, and Leonid Parnovski. ‘A Generalised Gauss Circle Problem and Integrated Density of States’. arXiv:1506.07115 [math-Ph], 23 June 2015. http://arxiv.org/abs/1506.07115.
- Shaneson, Julius L. “Estimates on Lattice Points in the Circle.” arXiv:1409.2446 [math], September 8, 2014. http://arxiv.org/abs/1409.2446.
- Huxley, M. N. ‘Exponential Sums and Lattice Points III’. Proceedings of the London Mathematical Society 87, no. 3 (11 January 2003): 591–609. doi:10.1112/S0024611503014485.
- G.H. Hardy, On the Expression of a Number as the Sum of Two Squares, Quart. J. Math. 46, (1915), pp.263–283