실해석적 아이젠슈타인 급수

개요

• $\Re(s)>1$, $\Im(\tau)>0$인 복소수 $s,\tau=x+iy $에 대하여, 다음을 정의

\[ \begin{align} E(\tau,s) &=\sum_{(m,n)\ne (0,0)}{y^s\over|m\tau+n|^{2s}} \\ &=\sum_{\gamma\in \Gamma/\Gamma_{\infty}}\Im\left(\gamma(\tau)\right)^s \end{align} \] 여기서 $\Gamma=SL(2,\mathbb{Z})$, $\Gamma_{\infty}=\{\gamma\in \Gamma|\gamma \infty=\infty\}$,

• 복소 타원 곡선의 스펙트럼 제타 함수

해석적 확장

• $s>1$에서 급수가 수렴하며, 전체 복소 평면으로 확장되며, $s=1$에서만 단순 폴을 가진다

크로네커 극한 공식

• 크로네커 극한 공식

\[E(\tau,s) = {\pi\over s-1} + 2\pi\left(\gamma-\log(2)-\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2)\right) +O(s-1)\] 여기서 \(\gamma\) 는 오일러상수, 감마, \(\eta(\tau)\)는 데데킨트 에타함수

함수방정식

• $\xi(\tau,s) = \pi^{-s}\Gamma(s)E(\tau,s)$로 두면, 다음을 만족한다

$$ \xi(\tau,s)=\xi(\tau,1-s) $$

마스 형식(Maass form)

• 푸앵카레 상반평면 모델에서의 라플라시안

$\Delta=y^2\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)$

• 라플라시안 $\Delta$의 고유벡터

\[\Delta E(z,s)=s(s-1)E(z,s)\]

• 실해석적 아이젠슈타인 급수는 마스 형식의 예이다

관련된 항목들

• Epstein 제타함수

수학용어번역

• analytic - 대한수학회 수학용어집

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Real_analytic_Eisenstein_series
• http://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_limit_formula

관련논문

• Lagarias, Jeffrey C., and Robert C. Rhoades. “Polyharmonic Maass Forms for PSL(2, Z).” arXiv:1508.02652 [math], August 11, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.02652.