고전 케플러-쿨롱 시스템

개요

• 행성운동을 기술하는 해밀토니안 시스템
• 고전역학에서의 적분가능 모형의 예
• $\mathbf{p}=(p_1,p_2,p_3), \mathbf{q}=(q_1,q_2,q_3)$
• 해밀토니안은 다음과 같이 주어진다

$$ H_0(\mathbf{q},\mathbf{p})=\frac{1}{2}p^2-\frac{1}{q}=\frac{1}{2} \left(p_1^2+p_2^2+p_3^2\right)-\frac{1}{\sqrt{q_1^2+q_2^2+q_3^2}} $$ 여기서 $p=|\mathbf{p}|,q=|\mathbf{q}|$

보존량

• 보존량 : 에너지 $H_0$, 각운동량 $\mathbf{G}$, 룽게-렌츠 벡터 $\mathbf{E}$

$$ \begin{aligned} H_0 &=\frac{1}{2} \left(p_1^2+p_2^2+p_3^2\right)-\frac{1}{\sqrt{q_1^2+q_2^2+q_3^2}} \\ \mathbf{G}&=\mathbf{q}\times \mathbf{p}=(p_3 q_2-p_2 q_3,p_1 q_3-p_3 q_1,p_2 q_1-p_1 q_2) \\ \mathbf{E}&=\mathbf{p}\times \mathbf{G}-\frac{\mathbf{q}}{q}\\ &=(p_2^2 q_1-p_1 p_2 q_2+p_3^2 q_1-p_1 p_3 q_3-\frac{q_1}{\sqrt{q_1^2+q_2^2+q_3^2}},p_1^2 q_2-p_2 p_1 q_1+p_3^2 q_2-p_2 p_3 q_3-\frac{q_2}{\sqrt{q_1^2+q_2^2+q_3^2}},p_1^2 q_3-p_3 p_1 q_1-p_2 p_3 q_2+p_2^2 q_3-\frac{q_3}{\sqrt{q_1^2+q_2^2+q_3^2}}) \end{aligned} $$

• 보존량 사이에 다음의 관계가 성립한다

$$ \mathbf{G}\cdot\mathbf{E}=0 \\ E^2-1=2H_0G^2 $$

궤도의 방정식

• $\theta$를 위치벡터 $\mathbf{q}=\mathbf{q}(\theta)$와 룽게-렌츠 벡터 $\mathbf{E}$가 이루는 각도라 두면, 다음이 성립한다

$$ \mathbf{q}\cdot \mathbf{E}=|\mathbf{q}||\mathbf{E}|=q E \cos \theta \label{orb} $$

• \ref{orb}의 좌변은 다음과 같다

$$ \begin{aligned} \mathbf{q}\cdot \mathbf{E}&=\mathbf{q} \cdot (\mathbf{p}\times \mathbf{G}-\frac{\mathbf{q}}{q})\\ &= \mathbf{G} \cdot (\mathbf{q}\times \mathbf{p})-\frac{\mathbf{q}\cdot \mathbf{q}}{q}) \\ &= G^2-q \end{aligned} $$

• 따라서 다음을 얻는다

$$ q E\cos \theta=G^2-q $$ 즉, $$ q(\theta)=\frac{G^2}{1+E\cos \theta} $$

• 이로부터 $0<E<1$일 때, 타원궤도를 얻는다

메모

• $\vec{A} = \left(p \times L\right) - m k\cdot \frac{\mathbf{r}}{r}$
• http://physics.stackexchange.com/questions/tagged/runge-lenz-vector
• http://analyticphysics.com/Runge%20Vector/The%20Symmetry%20Corresponding%20to%20the%20Runge%20Vector.htm

관련된 항목들

• 케플러의 법칙, 행성운동과 타원
• 양자 케플러-쿨롱 시스템
• 중심력장과 궤도
• 삼체 문제

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxTG9TSVdTYk8zdDg/edit

수학용어번역

• Runge - 발음사전 Forvo
• Lenz - 발음사전 Forvo

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace–Runge–Lenz_vector

리뷰, 에세이, 강의노트

• Ochkov, Valery, and Katarina Pisačić. “Motion of the Planets: The Calculation and Visualization in Mathcad.” arXiv:1504.07964 [physics], March 31, 2015. http://arxiv.org/abs/1504.07964.
• The symmetries of the Kepler problem
• Cordani, Bruno. ‘The Kepler Problem’. In Geography of Order and Chaos in Mechanics, 175–209. Progress in Mathematical Physics 64. Springer New York, 2013. http://link.springer.com.ezproxy.library.uq.edu.au/chapter/10.1007/978-0-8176-8370-2_6.

관련논문

• Anco, Stephen C., Tyler Meadows, and Vincent Pascuzzi. “Some New Aspects of First Integrals and Symmetries for Central Force Dynamics.” arXiv:1508.07258 [math-Ph], August 28, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.07258.
• Cariglia, Marco. “Conformal Triality of the Kepler Problem.” arXiv:1508.03408 [gr-Qc, Physics:hep-Th, Physics:math-Ph], August 13, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.03408.
• Keane, Aidan J., Richard K. Barrett, and John F. L. Simmons. ‘The Classical Kepler Problem and Geodesic Motion on Spaces of Constant Curvature’. Journal of Mathematical Physics 41, no. 12 (2000): 8108. doi:10.1063/1.1324652.