4차 상호법칙

개요

• 4차의 정수계수 다항식 \(f(x)\)를 \(\pmod p\)로 분해할 때 나타나는 현상의 이해

4차 상호법칙

거듭제곱 잉여 부호

• 거듭제곱 잉여 부호와 상호법칙 항목 참조

용어와 기호

• $i=\sqrt{-1}$
• $\alpha\in \mathbb{Z}[i]$가 $\alpha\equiv \pm 1 \bmod 2+2i$를 만족하면, $\alpha$를 primary라고 부른다
  • 이는 $\alpha=a+bi, a + b \equiv a − b \equiv 1 \pmod 4$와 동치
• $N\alpha=a^2+b^2$

상호법칙

정리

• $\alpha,\beta\in \mathbb{Z}[i]$가 서로소이고 primary라 하자.

\[\Bigg(\frac{\alpha}{\beta}\Bigg)_4 \Bigg(\frac{\beta}{\alpha}\Bigg)_4^{-1}=(-1)^{\frac{N\alpha-1}{4}\frac{N\beta-1}{4}}. \] 다음과 같은 보조 법칙이 성립한다 \[ \Bigg(\frac{i}{\alpha}\Bigg)_4 = i^\frac{1-a}{4},\;\;\; \Bigg(\frac{1+i}{\alpha}\Bigg)_4 = i^\frac{a-b-b^2-1}{4},\;\;\; \Bigg(\frac{2}{\alpha}\Bigg)_4 = i^\frac{b}{2}. \]

테이블

• 다음 표의 $(a,b)$는 $a+bi\in \mathbb{Z}[i]$를 나타냄
• 빈 칸은 잉여 부호가 정의되지 않음을 의미
• 서로 소인 소수 $x,y\in \mathbb{Z}[i]$에 대한 $\left(\frac{y}{x}\right)_4$의 값

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} x\ddots y & (-3,0) & (-1,-2) & (-1,2) & (-7,0) & (-11,0) & (3,-2) & (3,2) & (1,-4) & (1,4) & (-19,0) \\ \hline (-3,0) & & i & -i & 1 & 1 & -1 & -1 & i & -i & 1 \\ \hline (-1,-2) & i & & i & -i & -1 & 1 & -i & -i & -1 & 1 \\ \hline (-1,2) & -i & -i & & i & -1 & i & 1 & -1 & i & 1 \\ \hline (-7,0) & 1 & -i & i & & 1 & i & -i & -i & i & 1 \\ \hline (-11,0) & 1 & -1 & -1 & 1 & & i & -i & -i & i & 1 \\ \hline (3,-2) & -1 & -1 & -i & i & i & & -i & -i & -i & -i \\ \hline (3,2) & -1 & i & -1 & -i & -i & i & & i & i & i \\ \hline (1,-4) & i & -i & -1 & -i & -i & -i & i & & -1 & -1 \\ \hline (1,4) & -i & -1 & i & i & i & -i & i & -1 & & -1 \\ \hline (-19,0) & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -i & i & -1 & -1 & \\ \hline\end{array} $$

관련된 항목들

• 가우스 정수
• 3차 상호법칙

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxOHZsQ2VrS1lEemc/edit?pli=1

관련논문

• Watabe, Mutsuo. “An Arithmetical Application of Elliptic Functions to the Theory of Biquadratic Residues.” Abhandlungen Aus Dem Mathematischen Seminar Der Universität Hamburg 49, no. 1 (May 1979): 118–25. doi:10.1007/BF02950652.