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==개요==
  
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* [[다이로그 함수(dilogarithm)]] 의 변종
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*  다양한 [[함수 다이로그 항등식(functional dilogarithm identity)]]  을 만족시킴
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==정의==
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* <math>x\in (0,1)</math>에서 로저스 다이로그 함수를 다음과 같이 정의
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:<math>L(x)=\operatorname{Li}_ 2(x)+\frac{1}{2}\log x\log (1-x)=-\frac{1}{2}\int_{0}^{x}\left(\frac{\log(1-y)}{y}+\frac{\log(y)}{1-y}\right)dy</math>
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* <math>(-\infty,0],[1,+\infty)</math>를 제외한 복소평면으로 해석적확장됨
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* <math>dL(y)=\frac{1}{2}[\log(y)d\log (1-y)-\log(1-y)d\log (y)]</math>
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==함수의 그래프==
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* <math>x\in (0,1)</math> 에서의 그래프
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[[파일:로저스 다이로그 함수 (Roger s dilogarithm)1.gif]]
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*  함수 방정식을 이용한 확장
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[[파일:로저스 다이로그 함수 (Roger s dilogarithm)2.gif]]
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==반사공식(오일러)==
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* <math>0\leq x \leq 1</math> 일 때:<math>L(x)+L(1-x)=L(1)</math>
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==5항 관계식==
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* <math>0\leq x,y\leq 1</math> 일 때, :<math>L(x)+L(1-xy)+L(y)+L(\frac{1-y}{1-xy})+L\left( \frac{1-x}{1-xy}\right)=\frac{\pi^2}{2}</math>
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==special values==
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<math>L(0)=0</math>
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<math>L(1)=\frac{\pi^2}{6}</math>
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<math>L(-1)=-\frac{\pi^2}{12}</math>
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<math>L(\frac{1}{2})=\frac{\pi^2}{12}</math>
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<math>L(\frac{3-\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{15}</math>
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<math>L(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{10}</math>
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* non-unitary <math>c(2,k+2)</math> minimal models
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:<math>\sum_{i=1}^{[k/2]}L\left(\frac{\sin^2\frac{\pi}{k+2}}{\sin^2\frac{(i+1)\pi}{k+2}}\right)=\frac{k-1}{k+2}\cdot \frac{\pi^2}{6}</math>
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==역사==
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* [[수학사 연표]]
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==메모==
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==관련된 항목들==
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* [[로저스-라마누잔 항등식|로저스-라마누잔 연분수와 항등식]]
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZGMwYzhkZjItMmY5Ny00NDI4LTgxYjktN2E2NDlkNmNjMjAz&sort=name&layout=list&num=50
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
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* http://functions.wolfram.com/
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
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* [[매스매티카 파일 목록]]
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==사전 형태의 자료==
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/
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==관련논문==
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* Tomoki Nakanishi, Rogers dilogarithms of higher degree and generalized cluster algebras, arXiv:1605.04777 [math.QA], May 16 2016, http://arxiv.org/abs/1605.04777
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* Hartnick, Tobias, and Andreas Ott. “Perturbations of the Spence-Abel Equation and Deformations of the Dilogarithm Function.” arXiv:1601.07109 [math], January 26, 2016. http://arxiv.org/abs/1601.07109.
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* [http://dx.doi.org/10.1023/A:1009709927327 Algebraic Dilogarithm Identities]
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** Basil Gordon  and Richard J. Mcintosh, 1997
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* [http://dx.doi.org/10.1143/PTPS.118.61 Dilogarithm identities]
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** Anatol N. Kirillov,Prog.Theor.Phys.Suppl.118:61-142, 1995
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* [http://dx.doi.org/10.1007/BF01840426 Identities for the Rogers dilogarithm function connected with simple Lie algebras]
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** A. N. Kirillov, 1989
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==관련도서==
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*  Harold Scott Macdonald Coxeter [http://books.google.com/books?id=beTjmcibCH8C The beauty of geometry: twelve essays]
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** chapter 1
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[[분류:다이로그]]
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[[분류:특수함수]]

2016년 5월 18일 (수) 01:14 기준 최신판

개요


정의

  • \(x\in (0,1)\)에서 로저스 다이로그 함수를 다음과 같이 정의

\[L(x)=\operatorname{Li}_ 2(x)+\frac{1}{2}\log x\log (1-x)=-\frac{1}{2}\int_{0}^{x}\left(\frac{\log(1-y)}{y}+\frac{\log(y)}{1-y}\right)dy\]

  • \((-\infty,0],[1,+\infty)\)를 제외한 복소평면으로 해석적확장됨
  • \(dL(y)=\frac{1}{2}[\log(y)d\log (1-y)-\log(1-y)d\log (y)]\)


함수의 그래프

  • \(x\in (0,1)\) 에서의 그래프

로저스 다이로그 함수 (Roger s dilogarithm)1.gif

  • 함수 방정식을 이용한 확장

로저스 다이로그 함수 (Roger s dilogarithm)2.gif

반사공식(오일러)

  • \(0\leq x \leq 1\) 일 때\[L(x)+L(1-x)=L(1)\]



5항 관계식

  • \(0\leq x,y\leq 1\) 일 때, \[L(x)+L(1-xy)+L(y)+L(\frac{1-y}{1-xy})+L\left( \frac{1-x}{1-xy}\right)=\frac{\pi^2}{2}\]


special values

\(L(0)=0\)

\(L(1)=\frac{\pi^2}{6}\)

\(L(-1)=-\frac{\pi^2}{12}\)

\(L(\frac{1}{2})=\frac{\pi^2}{12}\)

\(L(\frac{3-\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{15}\)

\(L(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{10}\)

  • non-unitary \(c(2,k+2)\) minimal models

\[\sum_{i=1}^{[k/2]}L\left(\frac{\sin^2\frac{\pi}{k+2}}{\sin^2\frac{(i+1)\pi}{k+2}}\right)=\frac{k-1}{k+2}\cdot \frac{\pi^2}{6}\]


역사



메모

관련된 항목들



매스매티카 파일 및 계산 리소스




사전 형태의 자료



관련논문

관련도서

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