"갈고리 길이 공식 (hook length formula)"의 두 판 사이의 차이
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| − | * 주어진 자연수 | + | * 주어진 자연수 <math>n</math>의 분할 <math>\lambda</math> 또는 영 다이어그램에 대한 [[영 태블로(Young tableau)|표준 영 태블로]]의 개수를 세는 공식 |
| − | * 영 다이어그램에 대응되는 [[대칭군 (symmetric group)]] | + | * 영 다이어그램에 대응되는 [[대칭군 (symmetric group)]] <math>S_n</math>의 기약 표현 <math>V_{\lambda}</math>의 차원은 표준 영 태블로의 개수와 같으므로, 차원에 대한 공식으로 볼 수도 있다 |
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\dim V_{\lambda}=\frac{n!}{\prod\text{(hook lengths)}} | \dim V_{\lambda}=\frac{n!}{\prod\text{(hook lengths)}} | ||
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==갈고리== | ==갈고리== | ||
| − | * 영 다이어그램의 각 상자에 다음과 같이 번호를 붙이자. 다음은 | + | * 영 다이어그램의 각 상자에 다음과 같이 번호를 붙이자. 다음은 <math>\lambda=(4,2,1)</math>에 대한 예. |
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| − | * 영 다이어그램의 주어진 | + | * 영 다이어그램의 주어진 <math>\boxed{i,j}</math>에 대응되는 갈고리는 <math>\boxed{i,j}</math> 및, 그 오른쪽과 아래쪽에 있는 <math>\square</math>들로 이루어진 집합이며, 이 집합의 크기를 갈고리의 길이라 한다. |
| − | * 가령 | + | * 가령 <math>\boxed{1,2}</math>에 대한 갈고리는 다음과 같다 |
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| − | * | + | *<math>\boxed{2,1}</math>에 대한 갈고리는 다음과 같다 |
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\boxed{2,1} & \boxed{2,2} & {} & {} \\ | \boxed{2,1} & \boxed{2,2} & {} & {} \\ | ||
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| − | * | + | * <math>\boxed{i,j}</math>의 갈고리의 길이를 <math>h_{i,j}</math>라 두자 |
| − | * | + | * <math>\lambda:\lambda_1\geq \cdots \geq \lambda_k> 0</math>를 <math>n</math>의 분할이라 하고, <math>\mu:\mu_1 \geq \cdots \geq \mu_l> 0</math>를 <math>\lambda</math>의 켤레 분할 (conjugate partition)이라 두자 |
* 갈고리의 길이는 다음과 같이 표현할 수 있다 | * 갈고리의 길이는 다음과 같이 표현할 수 있다 | ||
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h_{i,j}=\lambda_i+\mu_j-i-j+1 | h_{i,j}=\lambda_i+\mu_j-i-j+1 | ||
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;정리 | ;정리 | ||
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\dim V_{\lambda}=\frac{n!}{\prod_{(i,j)} h_{i,j}} | \dim V_{\lambda}=\frac{n!}{\prod_{(i,j)} h_{i,j}} | ||
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===예=== | ===예=== | ||
| − | * 7의 분할 | + | * 7의 분할 <math>\lambda=(4,2,1)</math>에 대한 영 다이어그램 |
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| − | * 켤레 분할은 | + | * 켤레 분할은 <math>\mu=(3, 2, 1, 1)</math>로 주어진다 |
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| − | * 영 다이어그램 | + | * 영 다이어그램 <math>\lambda</math>의 각 <math>\square</math>에 대한 갈고리의 길이는 다음과 같이 주어진다 |
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\boxed{6} & \boxed{4} & \boxed{2} & \boxed{1} \\ | \boxed{6} & \boxed{4} & \boxed{2} & \boxed{1} \\ | ||
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\boxed{1} & {} & {} & {} \\ | \boxed{1} & {} & {} & {} \\ | ||
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| − | + | </math> | |
* 표준 영 태블로의 개수는 다음과 같다 | * 표준 영 태블로의 개수는 다음과 같다 | ||
| − | + | :<math>\frac{7!}{6\times 4\times 2\times 1\times 3\times 1\times 1}=35</math> | |
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* The Hook-Length Formula by Amritanshu Prasad. 2012. http://www.youtube.com/watch?v=aT4NmQ3JAjE&feature=youtube_gdata_player. | * The Hook-Length Formula by Amritanshu Prasad. 2012. http://www.youtube.com/watch?v=aT4NmQ3JAjE&feature=youtube_gdata_player. | ||
** 비디오 강의 | ** 비디오 강의 | ||
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| + | ==관련논문== | ||
| + | * http://arxiv.org/abs/1512.08348 | ||
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| + | [[분류:대칭다항식]] | ||
2020년 11월 12일 (목) 00:19 기준 최신판
개요
- 주어진 자연수 \(n\)의 분할 \(\lambda\) 또는 영 다이어그램에 대한 표준 영 태블로의 개수를 세는 공식
- 영 다이어그램에 대응되는 대칭군 (symmetric group) \(S_n\)의 기약 표현 \(V_{\lambda}\)의 차원은 표준 영 태블로의 개수와 같으므로, 차원에 대한 공식으로 볼 수도 있다
\[ \dim V_{\lambda}=\frac{n!}{\prod\text{(hook lengths)}} \]
갈고리
- 영 다이어그램의 각 상자에 다음과 같이 번호를 붙이자. 다음은 \(\lambda=(4,2,1)\)에 대한 예.
\[ \begin{array}{cccc} \boxed{1,1} & \boxed{1,2} & \boxed{1,3} & \boxed{1,4} \\ \boxed{2,1} & \boxed{2,2} & {} & {} \\ \boxed{3,1} & {} & {} & {} \\ \end{array} \]
- 영 다이어그램의 주어진 \(\boxed{i,j}\)에 대응되는 갈고리는 \(\boxed{i,j}\) 및, 그 오른쪽과 아래쪽에 있는 \(\square\)들로 이루어진 집합이며, 이 집합의 크기를 갈고리의 길이라 한다.
- 가령 \(\boxed{1,2}\)에 대한 갈고리는 다음과 같다
\[ \begin{array}{ccc} \boxed{1,2} & \boxed{1,3} & \boxed{1,4} \\ \boxed{2,2} & {} & {} \end{array} \]
- \(\boxed{2,1}\)에 대한 갈고리는 다음과 같다
\[ \begin{array}{cc} \boxed{2,1} & \boxed{2,2} & {} & {} \\ \boxed{3,1} & {} & {} & {} \\ \end{array} \]
- \(\boxed{i,j}\)의 갈고리의 길이를 \(h_{i,j}\)라 두자
- \(\lambda:\lambda_1\geq \cdots \geq \lambda_k> 0\)를 \(n\)의 분할이라 하고, \(\mu:\mu_1 \geq \cdots \geq \mu_l> 0\)를 \(\lambda\)의 켤레 분할 (conjugate partition)이라 두자
- 갈고리의 길이는 다음과 같이 표현할 수 있다
\[ h_{i,j}=\lambda_i+\mu_j-i-j+1 \]
- 정리
\[ \dim V_{\lambda}=\frac{n!}{\prod_{(i,j)} h_{i,j}} \]
예
- 7의 분할 \(\lambda=(4,2,1)\)에 대한 영 다이어그램
\[ \begin{array}{cccc} \square & \square & \square & \square \\ \square & \square & \text{} & \text{} \\ \square & \text{} & \text{} & \text{} \end{array} \]
- 켤레 분할은 \(\mu=(3, 2, 1, 1)\)로 주어진다
\[ \begin{array}{ccc} \square & \square & \square \\ \square & \square & {} \\ \square & {} & {} \\ \square & {} & {} \\ \end{array} \]
- 영 다이어그램 \(\lambda\)의 각 \(\square\)에 대한 갈고리의 길이는 다음과 같이 주어진다
\[ \begin{array}{cccc} \boxed{6} & \boxed{4} & \boxed{2} & \boxed{1} \\ \boxed{3} & \boxed{1} & {} & {} \\ \boxed{1} & {} & {} & {} \\ \end{array} \]
- 표준 영 태블로의 개수는 다음과 같다
\[\frac{7!}{6\times 4\times 2\times 1\times 3\times 1\times 1}=35\]
메모
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxQlA0ZDJ6TGhZTXc/edit
- Pemmaraju, Sriram V., and Steven S. Skiena. 2003. Computational Discrete Mathematics: Combinatorics and Graph Theory with Mathematica. Cambridge University Press.
수학용어번역
리뷰, 에세이, 강의노트
- Han, Hook length formulas for integer partitions and planar trees
- The Hook-Length Formula by Amritanshu Prasad. 2012. http://www.youtube.com/watch?v=aT4NmQ3JAjE&feature=youtube_gdata_player.
- 비디오 강의