"람베르트 연분수"의 두 판 사이의 차이
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| − | * 자연수 | + | * 자연수 <math>y\geq 1</math>에 대하여 다음과 같은 연분수전개가 성립한다 |
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\tanh(1/y)=\frac{e^{1/y}-e^{-1/y}}{e^{1/y}+e^{-1/y}}=[0;y,3y,5y,7y,\cdots] | \tanh(1/y)=\frac{e^{1/y}-e^{-1/y}}{e^{1/y}+e^{-1/y}}=[0;y,3y,5y,7y,\cdots] | ||
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| − | * | + | * <math>y=2</math>인 경우 |
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\frac{e-1}{e+1}=[0;2,6,10,14,\cdots] | \frac{e-1}{e+1}=[0;2,6,10,14,\cdots] | ||
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| + | * [[자연상수 e의 유리수 근사]] | ||
==유도== | ==유도== | ||
;정리 | ;정리 | ||
| − | 자연수 | + | 자연수 <math>y\geq 1</math>에 대하여 다음과 같은 연분수전개가 성립한다 |
| − | + | :<math> | |
\tanh(1/y)=\frac{e^{1/y}-e^{-1/y}}{e^{1/y}+e^{-1/y}}=[0;y,3y,5y,7y,\cdots] | \tanh(1/y)=\frac{e^{1/y}-e^{-1/y}}{e^{1/y}+e^{-1/y}}=[0;y,3y,5y,7y,\cdots] | ||
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:<math>\,_0F_1(c;x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(c)_nn!}x^n</math> | :<math>\,_0F_1(c;x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(c)_nn!}x^n</math> | ||
여기서 <math>(c)_n=c(c+1)(c+2)...(c+n-1)</math>는 [[포흐하머 (Pochhammer) 기호]] | 여기서 <math>(c)_n=c(c+1)(c+2)...(c+n-1)</math>는 [[포흐하머 (Pochhammer) 기호]] | ||
| − | * | + | * <math>f(c,x)=\,_0F_1(c;x)</math>로 두자 |
* 다음과 같은 contiguous 관계가 성립한다 | * 다음과 같은 contiguous 관계가 성립한다 | ||
| − | + | :<math> | |
f(c,x)=f(c+1,x)+\frac{x}{c(c+1)}f(c+2,x) | f(c,x)=f(c+1,x)+\frac{x}{c(c+1)}f(c+2,x) | ||
| − | + | </math> | |
* 이로부터 다음을 얻는다 | * 이로부터 다음을 얻는다 | ||
| − | + | :<math> | |
\frac{z}{c}\frac{f\left(c+1,z^2\right)}{f\left(c,z^2\right)}=\frac{1}{\frac{c}{z}+\frac{z}{c+1}\frac{f\left(c+2,z^2\right)}{f\left(c+1,z^2\right)}} | \frac{z}{c}\frac{f\left(c+1,z^2\right)}{f\left(c,z^2\right)}=\frac{1}{\frac{c}{z}+\frac{z}{c+1}\frac{f\left(c+2,z^2\right)}{f\left(c+1,z^2\right)}} | ||
| − | + | </math> | |
| − | * 따라서 | + | * 따라서 <math>F</math>를 다음과 같이 정의하자 |
| − | + | :<math>F(c,z)=\frac{z}{c}\frac{f\left(c+1,z^2\right)}{f\left(c,z^2\right)}</math> | |
* 다음이 성립한다 | * 다음이 성립한다 | ||
| − | + | :<math> | |
F(c,z)=\frac{1}{\frac{c}{z}+F(c+1,z)} | F(c,z)=\frac{1}{\frac{c}{z}+F(c+1,z)} | ||
| − | + | </math> | |
* 다음과 같은 연분수전개를 얻는다 | * 다음과 같은 연분수전개를 얻는다 | ||
| − | + | :<math> | |
F(c,z)=[0,\frac{c}{z},\frac{c+1}{z},\cdots, \frac{c+n-1}{z},F(c+n,z)] | F(c,z)=[0,\frac{c}{z},\frac{c+1}{z},\cdots, \frac{c+n-1}{z},F(c+n,z)] | ||
| − | + | </math> | |
| − | * | + | * <math>c=\frac{1}{2}</math>인 경우 |
| − | + | :<math> | |
F(1/2,z)=\frac{z}{1/2}\frac{f\left(3/2,z^2\right)}{f\left(1/2,z^2\right)}=\frac{\sinh(2z)}{\cosh(2z)} | F(1/2,z)=\frac{z}{1/2}\frac{f\left(3/2,z^2\right)}{f\left(1/2,z^2\right)}=\frac{\sinh(2z)}{\cosh(2z)} | ||
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2020년 11월 12일 (목) 00:22 기준 최신판
개요
- 자연수 \(y\geq 1\)에 대하여 다음과 같은 연분수전개가 성립한다
\[ \tanh(1/y)=\frac{e^{1/y}-e^{-1/y}}{e^{1/y}+e^{-1/y}}=[0;y,3y,5y,7y,\cdots] \]
- \(y=2\)인 경우
\[ \frac{e-1}{e+1}=[0;2,6,10,14,\cdots] \]
유도
- 정리
자연수 \(y\geq 1\)에 대하여 다음과 같은 연분수전개가 성립한다 \[ \tanh(1/y)=\frac{e^{1/y}-e^{-1/y}}{e^{1/y}+e^{-1/y}}=[0;y,3y,5y,7y,\cdots] \]
증명
- 초기하급수
\[\,_0F_1(c;x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(c)_nn!}x^n\] 여기서 \((c)_n=c(c+1)(c+2)...(c+n-1)\)는 포흐하머 (Pochhammer) 기호
- \(f(c,x)=\,_0F_1(c;x)\)로 두자
- 다음과 같은 contiguous 관계가 성립한다
\[ f(c,x)=f(c+1,x)+\frac{x}{c(c+1)}f(c+2,x) \]
- 이로부터 다음을 얻는다
\[ \frac{z}{c}\frac{f\left(c+1,z^2\right)}{f\left(c,z^2\right)}=\frac{1}{\frac{c}{z}+\frac{z}{c+1}\frac{f\left(c+2,z^2\right)}{f\left(c+1,z^2\right)}} \]
- 따라서 \(F\)를 다음과 같이 정의하자
\[F(c,z)=\frac{z}{c}\frac{f\left(c+1,z^2\right)}{f\left(c,z^2\right)}\]
- 다음이 성립한다
\[ F(c,z)=\frac{1}{\frac{c}{z}+F(c+1,z)} \]
- 다음과 같은 연분수전개를 얻는다
\[ F(c,z)=[0,\frac{c}{z},\frac{c+1}{z},\cdots, \frac{c+n-1}{z},F(c+n,z)] \]
- \(c=\frac{1}{2}\)인 경우
\[ F(1/2,z)=\frac{z}{1/2}\frac{f\left(3/2,z^2\right)}{f\left(1/2,z^2\right)}=\frac{\sinh(2z)}{\cosh(2z)} \] ■