"영 대칭화 연산자 (Young symmetrizer)"의 두 판 사이의 차이
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* [[대칭군의 표현론]]에서 중요한 역할 | * [[대칭군의 표현론]]에서 중요한 역할 | ||
| − | * 복소수체 위에서 대칭군의 기약표현 | + | * 복소수체 위에서 대칭군의 기약표현 <math>V_{\lambda}</math>에 대하여 <math>V_{\lambda}\cong c_{\lambda}\cdot \mathbb{C}S_n</math>이 성립 |
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c_{\lambda}^2=\frac{n!}{\dim V_{\lambda}}c_{\lambda} | c_{\lambda}^2=\frac{n!}{\dim V_{\lambda}}c_{\lambda} | ||
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| − | * 다음과 같이 | + | * 다음과 같이 <math>S_n</math>의 두 부분군을 정의 |
:<math>P_\lambda=\{ g\in S_n : g \text{ preserves each row of } \lambda \}</math> | :<math>P_\lambda=\{ g\in S_n : g \text{ preserves each row of } \lambda \}</math> | ||
:<math>Q_\lambda=\{ g\in S_n : g \text{ preserves each column of } \lambda \}.</math> | :<math>Q_\lambda=\{ g\in S_n : g \text{ preserves each column of } \lambda \}.</math> | ||
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| − | 여기서 <math>\operatorname{sgn}(g)</math>는 치환 | + | 여기서 <math>\operatorname{sgn}(g)</math>는 치환 <math>g\in S_n</math>의 부호 |
| − | * 영 대칭화 연산자 | + | * 영 대칭화 연산자 <math>c_\lambda</math> 는 다음과 같이 정의된다 |
:<math>c_\lambda := a_\lambda b_\lambda = \sum_{g\in P_\lambda,h\in Q_\lambda} \operatorname{sgn}(h) e_{gh}</math> | :<math>c_\lambda := a_\lambda b_\lambda = \sum_{g\in P_\lambda,h\in Q_\lambda} \operatorname{sgn}(h) e_{gh}</math> | ||
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2020년 11월 12일 (목) 21:36 판
개요
- 대칭군 \(S_n\)이 주어졌을 때, \(n\)의 분할에 대한 영 태블로 \(\lambda\)에 의해 정의되는 \(\mathbb{C}S_n\)의 원소 \(c_{\lambda}\)를 영 대칭화 연산자 (Young symmetrizer)라 부른다
- 대칭군의 표현론에서 중요한 역할
- 복소수체 위에서 대칭군의 기약표현 \(V_{\lambda}\)에 대하여 \(V_{\lambda}\cong c_{\lambda}\cdot \mathbb{C}S_n\)이 성립
- \(\mathbb{C}S_n\)에서 다음의 등식이 성립한다
\[ c_{\lambda}^2=\frac{n!}{\dim V_{\lambda}}c_{\lambda} \]
정의
- 다음과 같이 \(S_n\)의 두 부분군을 정의
\[P_\lambda=\{ g\in S_n : g \text{ preserves each row of } \lambda \}\] \[Q_\lambda=\{ g\in S_n : g \text{ preserves each column of } \lambda \}.\]
- \(\mathbb{C}S_n\)의 두 원소를 다음과 같이 정의
\[a_\lambda=\sum_{g\in P_\lambda} e_g\] \[b_\lambda=\sum_{g\in Q_\lambda} \operatorname{sgn}(g) e_g\] 여기서 \(\operatorname{sgn}(g)\)는 치환 \(g\in S_n\)의 부호
- 영 대칭화 연산자 \(c_\lambda\) 는 다음과 같이 정의된다
\[c_\lambda := a_\lambda b_\lambda = \sum_{g\in P_\lambda,h\in Q_\lambda} \operatorname{sgn}(h) e_{gh}\]
예
- 아래에서는 \(n\)이 작은 경우의 표준 영 태블로에 대한 영 대칭화 연산자를 나열
\(n=1\)
\[ \left( \begin{array}{c|c} \lambda & c_{\lambda}\\ \hline \begin{array}{c} 1 \\ \end{array} & e_{(1)} \\ \end{array} \right) \]
\(n=2\)
\[ \left( \begin{array}{c|c} \lambda & c_{\lambda}\\ \hline \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ \end{array} & e_{(1)}+e_{\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ \end{array} \right)} \\ \hline \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ \end{array} & e_{(1)}-e_{\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ \end{array} \right)} \\ \end{array} \right) \]
\(n=3\)
\[ \left( \begin{array}{c|c} \lambda & c_{\lambda}\\ \hline \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ \end{array} & e_{(1)}+e_{\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ \end{array} \right)}+e_{\left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ \end{array} \right)}+e_{\left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ \end{array} \right)}+e_{\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ \end{array} \right)}+e_{\left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ \end{array} \right)} \\ \hline \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & {} \\ \end{array} & e_{(1)}-e_{\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ \end{array} \right)}+e_{\left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ \end{array} \right)}-e_{\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ \end{array} \right)} \\ \hline \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & {} \\ \end{array} & e_{(1)}+e_{\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ \end{array} \right)}-e_{\left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ \end{array} \right)}-e_{\left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ \end{array} \right)} \\ \hline \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{array} & e_{(1)}-e_{\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ \end{array} \right)}-e_{\left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ \end{array} \right)}-e_{\left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ \end{array} \right)}+e_{\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ \end{array} \right)}+e_{\left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ \end{array} \right)} \\ \end{array} \right) \]
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
수학용어번역
- symmetrizer - 대한수학회 수학용어집