"가우스와 정17각형의 작도"의 두 판 사이의 차이
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* 쉬운 예를 들자면, <math>x^4+x^3+x^2+x+1=0</math> 은 다음과 같은 순서로 풀수 있음. | * 쉬운 예를 들자면, <math>x^4+x^3+x^2+x+1=0</math> 은 다음과 같은 순서로 풀수 있음. | ||
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2008년 11월 1일 (토) 20:10 판
간단한 소개
- 가우스는 정17각형이 자와 컴파스로 작도가능함을 증명함.
- 대수적으로 보자면, \(x^{16}+x^{15}+\cdots+x+1=0\)의 풀이를 반복적인 2차방정식의 풀이로 환원할 수 있는가의 문제.
- 쉬운 예를 들자면, \(x^4+x^3+x^2+x+1=0\) 은 다음과 같은 순서로 풀수 있음.
양변을 \(x^2\)으로 나누면, \(x^2+x+1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=0\) 을 얻게됨.
\(t=x+\frac{1}{x}\) 로 치환하면, 원래의 방정식에서 다음 식을 얻을 수 있음.
\(x^2+\frac{1}{x^2}+x+\frac{1}{x}+1=(x+\frac{1}{x})^2+(x+\frac{1}{x})-1=t^2+t-1=0\)
\(t^2+t-1=0\)
\(t=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\)
\(t=x+\frac{1}{x}\)
\(x^2-tx+1=0\)
\(x=\frac{t+\sqrt{t^2-4}}{2}\)
따라서 x는 유리수에서 시작하여, 사칙연산에 제곱근을 사용하여 표현가능하고, 따라서 자와 컴파스를 활용하여 작도가능.
- \(x^{16}+x^{15}+\cdots+x+1=0\) 의 경우에도 본질적으로는 위의 경우와 다르지 않으나, 2차방정식을 네번 풀어야 하고, 좀더 복잡해짐.
관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들
관련된 대학원 과목
관련된 다른 주제들
표준적인 도서 및 추천도서
- Famous Problems of Elementary Geometry
위키링크
참고할만한 자료
- 작도 과정을 보여주는 유투브 동영상