"가우스의 class number one 문제"의 두 판 사이의 차이

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<math>x^{24}-\gamma_2(\tau)x^8-16=0</math>
 
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* <math>\mathfrak{f}(\sqrt{-p})^2\in\mathbb{Q}(j(\sqrt{-p}))</math> 는<br>
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* <math>\mathfrak{f}(\sqrt{-p})^2\in\mathbb{Q}(j(\sqrt{-p}))</math> generates a cubic extension of  <math>\mathbb{Q}</math>. <br>
 
* <math>\tau_{0}=(3+\sqrt{-p})/2</math>
 
* <math>\tau_{0}=(3+\sqrt{-p})/2</math>
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* <math>\alpha=\zeta_{8}\mathfrak{f}_2(\tau_0)^2</math> 로 두면, <math>\alpha^4=-\mathfrak{f}_2(\tau_0)^8</math>는 <math>x^{3}-\gamma_2(\tau_0)x-16=0</math> 의 해이다<br>  <br>  <br>
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* <math>\alpha=\zeta_{8}\mathfrak{f}_2(\tau_0)^2</math> 로 두면, <math>\alpha^4=-\mathfrak{f}_2(\tau_0)^8</math>는 <math>x^{3}-\gamma_2(\tau_0)x-16=0</math> 의 해이다<br>
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*  한편 <math>\alpha=2/\mathfrak{f}(\sqrt{-p})^2</math> 이므로, 3차 정수 계수 다항식 <math>x^3+ax^2+bx+c=0</math>  의 해이다<br>  <br>
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2012년 7월 19일 (목) 16:28 판

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개요
  • 복소 이차 수체 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-d})\) 가 class number 1인 경우 즉 그 정수집합이 UFD가 되는 경우는 다음 9가지가 있음.
    • \(d=1,2,3,7,11,19,43,67,163\)

 

 

 

step 0
  • reduce to \(d=p\equiv 3 \pmod 8\)
    • \(d\equiv 1,2 \pmod 4\) => \(d=1,2\)
    • \(d\equiv 7 \pmod 8\) => \(d=7\)

 

 

 

step 1

 

 

step 2

\(\mathfrak{f}(\tau)=\frac{e^{-\frac{\pi i}{24}}\eta(\frac{\tau+1}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})\)

\(\mathfrak{f}_1(\tau)=\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n-\frac{1}{2}})\)

\(\mathfrak{f}_2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})\)

\(\gamma_2(\tau)=\frac{\mathfrak{f}_2(\tau)^{24}+16}{\mathfrak{f}_2(\tau)^8}=\sqrt[3]{j(\tau)}\)

 

\(x^{24}-\gamma_2(\tau)x^8-16=0\)

 

 

step 3
  • \(d=p\equiv 3 \pmod 8\)
  • \(\mathfrak{f}(\sqrt{-p})^2\in\mathbb{Q}(j(\sqrt{-p}))\) generates a cubic extension of  \(\mathbb{Q}\). 
  • \(\tau_{0}=(3+\sqrt{-p})/2\)
  • \(\alpha=\zeta_{8}\mathfrak{f}_2(\tau_0)^2\) 로 두면, \(\alpha^4=-\mathfrak{f}_2(\tau_0)^8\)는 \(x^{3}-\gamma_2(\tau_0)x-16=0\) 의 해이다
  • 한편 \(\alpha=2/\mathfrak{f}(\sqrt{-p})^2\) 이므로, 3차 정수 계수 다항식 \(x^3+ax^2+bx+c=0\)  의 해이다
     

 

 

 

역사

 

 

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관련도서

 

 

사전형태의 참고자료

 

 

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