"가해군(solvable group)"의 두 판 사이의 차이

2010년 2월 3일 (수) 17:12 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

개요

정의

부분군으로 이루어진 타워
\(G=G_0 \supset G_1 \supset G_2 \supset \cdots G_m\)

유한군이 다음 조건을 만족하는 부분군의 열을 가질 때, 가해군이라 한다
(1) \(G=G_0 \supset G_1 \supset G_2 \supset \cdots \supset G_m=\{\text{id}\}\)
(2) \(G_i/G_{i+1}\)는 순환군

거듭제곱근 체확장과의 관계

5차방정식과 근의 공식 을 군론의 측면에서 이해하기 위해 가장 중요한 정리

(정리)

체 F는 적당한 primitive n-th root of unity를 모두 가진다고 가정하자.

\(F\)의 거듭제곱근 체확장 \(K\)에 대하여 \(G=\text{Gal}(K/F)\)는 가해군이다.

(증명)

거듭제곱근 체확장(radical extension) 의 타워가 다음과 같이 주어졌다고 하자.

\(F=F_0 \subset F_1 \subset F_2 \subset \cdots \subset F_r=K\)

자연수 \(n_1,\cdots,n_r\)이 존재하여, \(a_1^{n_1}\in F\) 이고 \(1<i\leq r\)에 대하여 \(a_i^{n_i} \in F(a_1,a_2,\cdots,a_{i-1})\)

이 체확장의 타워로부터 \(G=\text{Gal}(K/F)\)의 부분군으로 이루어진 타워를 얻는다

\(G=G_0=\text{Gal}(K/F_{0}) \supset \text{Gal}(K/F_{1}) \supset \text{Gal}(K/F_{2}) \supset \cdots \supset \text{Gal}(K/F_{r})=\{\text{id}\}\)

\(G_i=\text{Gal}(K/F_{i})\)로 두자

갈루아 이론의 기본정리에 의하여, 다음을 얻는다

\(G_i/G_{i+1}=\text{Gal}(K/F_{i})/\text{Gal}(K/F_{i+1})\cong \text{Gal}(F_{i+1}/F_{i})\cong C_{n_i}\)

따라서 \(G=\text{Gal}(K/F)\)는 가해군이다. ■

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 <h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">거듭제곱근 체확장과의 관계</h5>
+* [[5차방정식과 근의 공식]] 을 군론의 측면에서 이해하기 위해 가장 중요한 정리<br>
+(정리)
 체 F는 적당한 primitive n-th root of unity를 모두 가진다고 가정하자.
+ <math>F</math>의 거듭제곱근 체확장 <math>K</math>에 대하여  <math>G=\text{Gal}(K/F)</math>는 가해군이다.
+(증명)
+[[거듭제곱근 체확장(radical extension)]] 의 타워가 다음과 같이 주어졌다고 하자.
+<math>F=F_0 \subset F_1 \subset F_2 \subset \cdots \subset F_r=K</math>
+자연수 <math>n_1,\cdots,n_r</math>이 존재하여, <math>a_1^{n_1}\in F</math> 이고 <math>1<i\leq r</math>에 대하여 <math>a_i^{n_i} \in F(a_1,a_2,\cdots,a_{i-1})</math>
+이 체확장의 타워로부터 <math>G=\text{Gal}(K/F)</math>의 부분군으로 이루어진 타워를 얻는다
+<math>G=G_0=\text{Gal}(K/F_{0}) \supset \text{Gal}(K/F_{1})  \supset \text{Gal}(K/F_{2})  \supset \cdots  \supset \text{Gal}(K/F_{r})=\{\text{id}\}</math>
+<math>G_i=\text{Gal}(K/F_{i})</math>로 두자
+[[갈루아 이론]]의 기본정리에 의하여, 다음을 얻는다
-[[거듭제곱근 체확장(radical extension)]] 의 타워가 다음과 같이 주어졌다고 하자
+<math>G_i/G_{i+1}=\text{Gal}(K/F_{i})/\text{Gal}(K/F_{i+1})\cong \text{Gal}(F_{i+1}/F_{i})\cong C_{n_i}</math>
-* <math>F=F_0 \subset F_1 \subset F_2 \subset \cdots \subset F_r=K</math> <br> 자연수 <math>n_1,\cdots,n_r</math>이 존재하여, <math>a_1^{n_1}\in F</math> 이고 <math>1<i\leq r</math>에 대하여 <math>a_i^{n_i} \in F(a_1,a_2,\cdots,a_{i-1})</math><br>
+따라서 <math>G=\text{Gal}(K/F)</math>는 가해군이다. ■
-*  이 체확장의 타워로부터 <math>G=\text{Gal}(K/F)</math>의 부분군으로 이루어진 타워를 얻는다<br><math>G=G_0=\text{Gal}(K/F_{0}) \supset \text{Gal}(K/F_{1})  \supset \text{Gal}(K/F_{2})  \supset \cdots  \supset \text{Gal}(K/F_{r})=\{\text{id}\}</math><br><math>G_i=\text{Gal}(K/F_{i})</math>로 두자<br>
-* [[갈루아 이론]]의 기본정리에 의하여, 다음을 얻는다<br><math>G_i/G_{i+1}=\text{Gal}(K/F_{i})/\text{Gal}(K/F_{i+1})\cong \text{Gal}(F_{i+1}/F_{i})\cong C_{n_i}</math><br>
-*  따라서 <math>G=\text{Gal}(K/F)</math>는 가해군이 된다<br>
@@ 74번째 줄: / 91번째 줄: @@
 <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련된 항목들</h5>
+* [[순환 체확장(cyclic extension)]]<br>

"가해군(solvable group)"의 두 판 사이의 차이

2010년 2월 3일 (수) 17:12 판

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